3.1一维晶格振动R.ppt

1、,注意： 当次作业当场收完后将不再接受任何该次作业，按时交作业 不愿交作业，一周之内交一申请，考试成绩按100%计 建议还是交作业，按时上课。这个40%很可能就决定你能否通过,最后成绩： 期末考试占60% 平时出勤、作业、笔记、小测验等占40%,今天开始进入特别重要的章节！不抛弃！不放弃！,预备知识：主要是量子和热统，也包括力学、电磁学等，但都只涉及基本的 讲授特点：复杂简单，简单复杂 * 与以前有很大的不同把一个复杂的研究对象合 理地在不同层次进行简化，建立模型，引入新概 念，运用已有知识，得到新的规律，再对照实验结 果，修改模型，这样螺旋地循环上升，一步步 接近实际 因此，从上面这两点来说

2、 都站在同一起跑线,温度等于或大于100K，比热的实际观测值非常接近于Dulong-Petit值；在较低的温度，固体的热容量随温度降低而下降，并且,低温下，需要量子理论解释（100K）,Born-Oppenheimer近似,固体电子论 晶格振动理论 电子与晶格振动的相互作用,引言,第一节 一维晶格的振动,一、一维单原子链的振动,二、一维双原子链(复式格子)的振动,本节主要内容:,本节要解决的问题及相关概念： 如何处理晶体中原子的振动？ * 唯象模型，简谐近似 * 一维单原子链、一维双原子链 从一维原子链了解晶格振动频谱的基本性质 * 振动频率与波矢的关系色散关系 * 振动模式,一、一维单原子链

3、的振动,1. 振动方程,(1) 模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。,第n个原子,第n-2个原子,第n-1个原子,第n+1个原子,第n+2个原子,a,m,m,只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：,问题： 晶体有限大小，边界原子与内部原子的受力情况并不相同,？,？,Born-von. Karman边界条件,(2)运动方程求解及波矢q的取值,试探解（平面波） ：,给出试探解:,方程的求解,原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。,格波动画,对于一

4、维布拉菲晶格(原胞标数与原子标数相同):,且,振动动画,晶格原子的位移 完全一样,故取,简约布里渊区,(共N个值),只有这段频率的波才能在晶体中传播！,对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动,对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相,格波与连续介质弹性波的比较,格波描述格点的运动,弹性波描述任一质点的运动,(共N个值),4. 长波极限:,在长波近似的情况下，一维单原子晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。,例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。,由玻恩-卡门周期性边界条件:,解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:

5、,将试探解代入振动方程得色散关系:,二、一维双原子链(复式格)的振动,1. 运动方程和解,(1)模型：一维无限长原子链，原子质量分别为m和M，且mM。相邻原子间距均为a，恢复力系数为。,(晶格常量为2a ),质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、,质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、,若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：,(2)方程和解,其他原子位移可按下列原则得出:,(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。,(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。,2.色散关系,上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；,若A，B不全为零，必须

6、其系数行列式为零，即:,推导略,O(+)光学支格波， (optical branch),A(-)声学支格波 (acoustic branch),(1)色散曲线,周期为/a,由玻恩卡曼边界条件，设晶体有N个原胞，则：,(2)波矢q的取值,(共有N个值),一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。,由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的数目为2N，格波(振动模式)数目为2N。,晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数 晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数,3.声学波和光学波,在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。,推导略,(2)相邻原子的振幅之比,

7、对于声学支格波:,声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。,长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。,对于光学波:,光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。,长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。,光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。,声学支格波，相邻原子振动方向是相同的。,例2:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM 。靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子的恢复力系数为1，分子间两原子间的恢复力系数为2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系。,a,2n-2,2n,2n+1,2n