基本不等式教案

1、课题：34 基本不等式（第一课时） 授课时间：2012.10.31 授课班级：高二1部（6）班 授课人：邵天平34 基本不等式（第一课时）教学设计一、三维教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。例题的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与

2、价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵三.教具准备：幻灯片，学案与练案四、教学过程（一） 创设情境，引入新课上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。探究一:我们把“风车”造型抽象成下图 提问1：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两直角边长为、，那么正方形的边长为多少呢？面积为多少呢？ （，）提问2： 4个直角三角形的面积和是

3、多少呢？ （ ） 提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们 容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有）（二） 师生互动、探究新知1、一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。提问4：你能给出它的证明吗？证明: 所以 注意强调：当且仅当时, 探究二: 如果 用和代替、，可得,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导2.若a0，b0，则,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.（称为正数,的算术平均数；称为正数,的几何平均数.）探究三: 提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等

4、式的几何解释吗？老师用幻灯片给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）（三）例题解析例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（第（2）问作为练习使用）总结：已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).(2) x+y=S xy (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).利用基本不等式求最值时，要注意各项皆为正数； 和或积为定值；注意等号成立的条件. 即：一“正”；二“定”；三“相等”（选择练习：教材P100面练习2题、3题.）四：课堂小结：1.比较两个不等式的联系和区别 2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 (当且仅当 x=