导数的应用组合课件.ppt

1、例1:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件,A,(2)下列函数在点x=0处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx,D,(3)若 则f(x)可能是下式中的( ),B,(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( ),D,例2:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2

2、均 相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,例3:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称.,解:由于 ,故当x=2时, 有

3、最小值.,而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12).,记曲线为S,设P(x,y)S,则有y=x3-6x2-x+6.,又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证QS.,将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是QS.,这就证明了曲线S关于点A中心对称.,练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点

4、的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.,解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.,故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).,例4:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.,解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.,又圆面积S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.,例5:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴

5、,并求此切线的方程.,解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:,切线斜率,把x0=0代入曲线方程得:y0=1.,所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.,例6:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.,解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).,故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0).,所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.,练习2:分别求曲线y=logxe; 在点(e,1)处 的切线方程

6、.,延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距离.,答案:,例7:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直.,证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.,联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切线互相垂直.,由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.,例8:求下列函数的导数:(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).,解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.,

7、由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得:,(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:,说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, y=f(x),则,(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:,形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数,取对数后,可 将积转化为和的形式,或 ,取对 数后,可转化为代数和的形式.,无理函数或形如y=f(x)g(x)这类幂指函数.,(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求

8、导变为可能(无求导公式变为有求导公式).,例如我们利用上面例题中的(2)可知 中的n的范围可以扩大到全体实数.,又如下面一题我们就有两种不同的解法:,方法二:由于y0,故可以两边取对数.,题目:已知0x1,求 的导数.,方法一:,练习3:用两种不同的解法求函数 的导数.,方法一:由于y0,故两边取对数,得,方法二:,在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们不便去过多的去研究.,下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.),例子:求椭圆 在点 处的切线方程.,解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:,于是所求切线方程为:,备用,利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:,(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:,(2)过椭圆 上一点P0(