控制工程基础-第三章

1、3、线性系统的时域分析,3.1 典型输入信号与时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统状态方程的解 3.6 线性系统稳态误差计算,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,1,本章学习要点,了解典型输入信号和时域性能指标 掌握一阶系统的时域分析方法 掌握二阶系统的时域分析方法 了解高阶系统的主导极点及其时域分析方法 掌握反馈系统的稳态误差及其误差补偿的方法 掌握线性系统状态转移矩阵的性质和求解方法 掌握状态方程的求解方法,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,2,引言-时域

2、分析在控制理论中的地位和作用,系统数学模型 G(s),时间域 复数域 频率域,系统的 性能指标,系统的校正、综合,时域分析是三大分析方法之一，在时域中研究问题， 重点讨论过渡过程的响应形式。其特点： 1).直观、精确。 2).比较烦琐。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,3,3.1 典型输入信号与时域性能指标,1）系统的响应过程 瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。瞬态响应也称为过渡过程。 稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态。,控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下 系统的过渡

3、过程来评价。, 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性， 还与外加输入信号的形式有关。 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。,有两个问题：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,4,3.1 典型输入信号与时域性能指标,分析瞬态响应时，需要选择典型输入信号，这有如下好处： 分析处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、综合系统； 典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础； 便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。,阶跃函数单位阶跃函数 斜坡函数单位斜坡函数 抛物线函数单位抛物线函数 脉冲函数单位脉冲函数 正弦函数,2020年10月3日6时12

4、分,北京科技大学自动化学院自动化系,5,3.1 时域响应与典型输入信号,（1）阶跃函数,2）常用的典型输入信号,A=1时，称为单位阶跃函数，记为1(t)。,拉氏变换为： L ； 一般情况为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,6,3.1 典型输入信号与时域性能指标,（2）斜坡函数,（3）抛物线函数,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,7,3.1 典型输入信号与时域性能指标,（4）单位脉冲函数(t),L,（5）正弦函数,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,8,3.1 典型输入信号与时域性能指标,3）时域性能指标

5、,时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。,动态过程：系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：表征系统输出量最终跟踪或复现理想输出的程度。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,9,3.1 典型输入信号与时域性能指标,动态性能,上升时间tr,延迟时间td,峰值时间tp,调节时间ts,超调量%,振荡次数N,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,10,3.1 典型输入信号与时域性能指标,上升时间tr：响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。若响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳

6、态值的10%上升到90%所需的时间。 延迟时间td: 响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。 峰值时间tp: 响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。 调节时间ts: 在稳态值h()附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,11,3.1 典型输入信号与时域性能指标,超调量%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。

7、振荡次数N：在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,12,B,动态性能指标定义1,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,13,上升时间tr,调节时间 ts,动态性能指标定义2,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,14,动态性能指标定义3,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,15,3.1 典型输入信号与时域性能指标,

8、稳态性能指标：,稳态误差(steady-state error) ess：指响应的稳态值与期望值之差。,稳态误差ess是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,16,3.2 一阶系统的时域分析,开环传函为：,凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。 一阶系统在控制工程中应用广泛，如加热炉、单容水箱等 。,闭环传函为：,微分方程为：,T为系统的时间常数， 1/T为开环增益.,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,17,3.2 一阶系统的时域分析,1）单位阶跃响应,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响

9、应为：,单位阶跃输入,的像函数为,则系统输出量的拉氏变换为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,18,3.2 一阶系统的时域分析,98.2%,95%,99.3%,0,t,一阶系统的单位阶跃响应曲线,斜率1/T,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,19,3.2 一阶系统的时域分析,2）单位斜坡响应,当输入信号 时， 系统输出量的拉 氏变换为：,对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,20,3.2 一阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化

10、系,21,3.2 一阶系统的时域分析,当u(t)=(t)时，系统的输出响应为该系统的脉冲响 应。因为L (t)=1，一阶系统脉冲响应的拉氏变换为：,3）单位脉冲响应,对应单位脉冲响应为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,22,3.2 一阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,23,3.2 一阶系统的时域分析,若输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,24,一阶系统时域分析

11、,单 位 脉 冲 响 应,K(0)=T,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)=0.982h(),单位斜坡响应,c(t)=t-T+Te-t/T,T,r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t,k(0)= -1/T2,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,25,3.2 一阶系统的时域分析,几点说明和结论： 1。根据动态性能指标的定义， 的暂态指标为： ts=3T(5%) ts=4T(2%) 2。 如果把复现和跟踪输入信号为理想输出 那么， 对

12、脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为0，而对单位斜波输入的稳态误差为T。 3。观察输入信号和对应的输出信号可知，输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系。由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,26,3.2 一阶系统的时域分析,一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,例3.2.1,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,27,3.2 一阶系统的时域分析,系统的闭环传递函数,解,2020年10月

13、3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,28,3.2 一阶系统的时域分析,思考题和选做题： （1）当一阶对象的模型为 时，分别求其输出响应所得的结果是否符合前面的证明和结论？试着解释为什么有这样的结果？ （2）当输入信号为 时， 的输出响应是什么？能否根据这个结果利用上面思考题直接写出 对 的输出响应？,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,29,3.3 二阶系统的时域分析,1）典型的二阶系统,动态结构图,系统的闭环传递函数为：,特征方程：,特征根：,系统的开环传递函数为：,n:无阻尼自然振荡角频率,:阻尼系数或阻尼比,2020年10月3日6时12分,北京科技

14、大学自动化学院自动化系,30,3.3 二阶系统的时域分析,当01时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态（如图c）。 当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼状态（如图d）。 当-1 0时，此时系统特征方程具有一对正实部的共轭复根。系统动态过程振荡发散，称为负欠阻尼状态。（如图e） 当-1时，特征方程具有两个不相等的正实根，系统动态过程单调发散，称为负过阻尼状态。（如图f）,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,31,3.3 二阶系统的时域分析,2）二阶系统的单位阶跃响应,（1）欠阻尼情况（01）,系统的一对共轭复数根可写为：,

15、衰减系数,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,32,3.3 二阶系统的时域分析,当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出的拉氏 变换为：,对上式进行拉氏反变换，则欠阻尼二阶系统的单位阶 跃响应为,d:阻尼振荡角频率,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,33,系统的输出响应曲线如下图所示：,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,34,3.3 二阶系统的时域分析,（2）临界阻尼情况（=1）,临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 是稳态值为1的非周期上升过程，整个响应特性不产生振荡。,响应曲线,202

16、0年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,35,3.3 二阶系统的时域分析,（3）过阻尼情况（1）,闭环极点为：,输出的拉氏变换为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,36,3.3 二阶系统的时域分析,系统响应含有两个单调衰减的指数项，它们的代数和决不会超过稳态值1，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的。,拉氏反变换得：,响应曲线,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,37,3.3 二阶系统的时域分析,无因次时间,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,38,3.3 二阶系统的时域分析,（4）

17、无阻尼情况（=0）,系统为不衰减的振荡，其振荡频率为n，系统属临界稳定系统。,响应曲线,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,39,3.3 二阶系统的时域分析,（5）负过阻尼情况（ -1）,响应曲线,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,40,3.3 二阶系统的时域分析,（6）负欠阻尼情况（-1 0）,响应曲线,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,41,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统的特征根为：,实部：,决定衰减项,收敛 发散,决定振荡项,虚部,在实部、虚部中均含有 项。 下面总结 变化对系统响应的影响,20

18、20年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,42,3.3 二阶系统的时域分析,发散,不稳定,收敛,稳定,等幅振荡,临界稳定,对于 有：,振荡收敛,单调收敛,虽是单调的 但介于振荡与不振荡之间,无阻尼,有阻尼,负阻尼,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼,对于 有：,振荡发散,单调发散,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,43,01,1,0,1,二阶系统的阶跃响应总结,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,44,二阶系统的阶跃响应总结,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,零阻尼,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,45,

19、3.3 二阶系统的时域分析,总结二阶系统的阶跃响应，发现有如下情况： 1）负阻尼情况下，系统在单位阶跃信号作用下系统的输出最终无法达到一个确定的数值上，也不会在确定范围内变化。 2）当0时不管系统的暂态过程如何变化，系统输出都会稳定在值1上。 3）当=0时系统的输出响应，既没有稳定在一个值上也没有发散，而是在0 2中周期变化。,不稳定系统,稳定系统,临界稳定,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,46,3.3 二阶系统的时域分析,进一步系统的稳定性与系统的特征有什么联系： 1）负阻尼情况下：0时：不管系统是欠阻尼还是过阻尼，系统的极点都有负实部。 3）当=0时：系统的

20、极点是纯虚的，实部为零。,思考和疑问：能否将上面的总结作为判断系统稳定性的结论？,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,47,-n,d,n,3.3 二阶系统的时域分析,3）二阶系统（欠阻尼）动态性能分析。,阻尼振荡频率,自然振荡频率,阻尼角,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,48,3.3 二阶系统的时域分析,上升时间tr：,由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,当n一定时，越小，tr越小,当一定时，n越大，tr越小,则,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,49,3.3 二阶系统的时

21、域分析,峰值时间tp,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,50,3.3 二阶系统的时域分析,当n一定时，越小，tp越小；当一定时，n越大，tp越小。,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,51,超调量%,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,52,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%。,超调量是阻尼比的函数，与自然振荡频率n的大小无关。,3.

22、3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,53,3.3 二阶系统的时域分析,根据定义：,振荡项（1）,衰减项,调节时间ts,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,54,3.3 二阶系统的时域分析,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。,近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当=0.8时,常把,去掉。写成 即,可近似表示为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,55,3.3 二阶系统的时域分析,调

23、节时间ts,取sin项为1，则,由此解出,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,56,调节时间不连续的示意图,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,57,3.3 二阶系统的时域分析,为了使用上的方便，人们作出了nts与的关系曲线，如下图所示：,在设计系统时, 通常由要求的最大超调量决定,而调节时间ts则由无阻尼振荡频率n来决定。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,58,3.3 二阶系统的时域分析,阻尼比小：峰值时间短，调整时间长，超调量大。

24、阻尼比大：峰值时间长。 希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比为0.707称为最佳阻尼比.,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,59,3.3 二阶系统的时域分析,设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA =13.5,这时系统的动态性能指标如何?,已知单位负反馈系统的开环传递函数为：,解,系统的闭环传递函数为:,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,60,3.3 二阶系统的时域分析,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计

25、算公式,可以求得:,（1）,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,61,3.3 二阶系统的时域分析,由此可见,KA越大, 越小,n越大,tp越小,%越大,而调节时间ts无多大变化。,系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计:,（2）,（3）,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,62,稳性。为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,3.3 二阶系统的时域分析,KA增大，t

26、p减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,63,如图所示的系统，施加8.9N阶跃力后，记录时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度 K 和粘性阻尼系数D的数值。,质量-弹簧-阻尼系统 系统阶跃响应曲线,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,64,3.3 二阶系统的时域分析,解,解得,根据牛顿第二定律：,进行拉氏变换，并整理得：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,65,3

27、.3 二阶系统的时域分析,由终值定理得（系统稳定）：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,66,3.3 二阶系统的时域分析,4）二阶系统（过阻尼）动态性能分析。,当1时，系统没有%，故也没有tp，但有：, 1时的特征多项式,若T145T2，则：,若=1(T1=T2) ,ts=4.75T1,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,67,3.3 二阶系统的时域分析,具有一个附加零点的闭环二阶系统为,5）带有零点的二阶系统响应,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,68,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时

28、12分,北京科技大学自动化学院自动化系,69,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,70,3.3 二阶系统的时域分析,峰值时间,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,71,3.3 二阶系统的时域分析,超调量 超调有增加的趋势。 表示零点与极点距离虚轴 的距离比；零点离虚轴越近，超调量越大。 调节时间 调节时间增加或减小，取决于l/z比值的大小,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,72,3.3 二阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,73,3.3

29、 二阶系统的时域分析,下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。,1,-,+,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,74,3.3 二阶系统的时域分析,系统开环传递函数,闭环传递函数:,等效阻尼比：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,75,3.3 二阶系统的时域分析,解,试分析速度反馈校正对系统性能的影响。,系统的开环传递函数为,图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,76,3.3 二阶系统

30、的时域分析,式中kt为速度反馈系数,其中：,为系统的开环增益,(不引入速度反馈开环增益 ),闭环传递函数：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,77,等效阻尼比：,显然 ，所以速度反馈可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率n,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。,3.3 二阶系统的时域分析,在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数Kt,使阻尼比t增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系

31、,78,3.4 高阶系统的时域分析,一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。 传递函数可表示为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,79,3.4 高阶系统的时域分析,设输入为单位阶跃，则,如果其极点互不相同：,经拉氏反变换，得：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,80,3.4 高阶系统的时域分析,当所有极点均具有负实部时，除常数 其它各项随着时间 而衰减为零。,高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由-pj和-kk决定。 即高阶系统暂态响应各分量衰减

32、的快慢由闭环极点 在S平面左半边离虚轴的距离决定。,高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面的位置有关，还与零点的位置有关。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,81,3.4 高阶系统的时域分析,主导极点,在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距离是其它极点距虚轴距离的1/5或更小，并且附近没有闭环零点，称该极点（对）为该高阶系统的主导极点。,偶极子(dipole) 指相距很近的一对零、极点。,可以用主导极点来估计高阶系统的性能指标。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,82,3.4 高阶系统的时域分析,系统传递函数如下，计

33、算系统的单位阶跃响应。,解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,83,3.4 高阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,84,3.4 高阶系统的时域分析,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,85,3.4 高阶系统的时域分析,：G1与G3比较，-1起主要作用（主导极点）。 ：G2与G4比较，极点-1与零点-1.01 相接近，零点对极点起到动态响应抵消作用，使远处的极点作用发挥出来（偶极子）。 ：G3与G4比较，零点起到微分作用，起加快响应速度的目的。 ：G3与G4比较，传递函数的稳定零点不影响系统动

34、态响应分量的个数，也不影响它们的稳定性。零点仅影响各分量系数大小正负。 ：一阶环节起惯性滞后作用，离原点、虚轴越近，惯性滞后作用越强。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,86,3.5 线性系统状态方程的解,第二章我们讨论了系统的数学模型： 传递函数与传递函数矩阵 状态空间表达式,本节讨论在状态空间表达式描述下线性定常系统的响应问题。即已知系统的输入u(t)和系统的初始状态x(0)，如何求解系统的状态变量x(t)和输出量y(t)。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,87,3.5 线性系统状态方程的解,零输入,叠加原理,零状态,2020年

35、10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,88,3.5 线性系统状态方程的解,设：,则：,比较系数：,又：,齐次方程的解零输入,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,89,状态转移矩阵：,矩阵指数函数,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,90,状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质,1）,3.5 线性系统状态方程的解,2）,3）,5）,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,91,几个特殊的矩阵指数函数：,1）对角阵,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12

36、分,北京科技大学自动化学院自动化系,92,2）约当块,3.5 线性系统状态方程的解,则,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,93,3）模态阵,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,94,矩阵指数函数的三种计算方法,2）变换矩阵A为约当标准型,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,95,(采用变换矩阵法),3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,96, 求约当标准形, 求,3.5 线性系统状态方程的解,2

37、020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,97,3）利用拉氏变换法求,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,98,(采用拉氏变换法),解：,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,99,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,100,3.5 线性系统状态方程的解,非齐次状态方程的解方法1 对于状态方程： 有： 两边同乘以 有： 即： 两边同时在区间t0,t内积分，有： 得：,2020年10月3日6时12分,北京科

38、技大学自动化学院自动化系,101,3.5 线性系统状态方程的解,所以有 ： 两边左乘 有： 即： 如果t0=0,则,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,102,拉氏反变换,3.5 线性系统状态方程的解,非齐次方程的解方法2,卷积定理,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,103,求下述系统在单位阶跃函数作用下的响应,3.5 线性系统状态方程的解,并将这种响应与系统对应的传递函数的响应做对比。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,104,系统状态响应,3.5 线性系统状态方程的解,由,初始条件为零，即,2020年1

39、0月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,105,3.5 线性系统状态方程的解,系统的输出响应：,系统的传递函数：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,106,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,107,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,108,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,109,3.5 线性系统状态方程的解,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,1

40、10,3.6 线性系统稳态误差计算,控制系统的三性分析：稳定性、稳态特性、动态特性 对于一个稳定的控制系统而言，稳态误差是反映其控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。 在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。 研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很大关系。 控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减小乃至消除稳态误差。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,111,3.6 线性系统稳态误差计算,1）误差的定义,输入端定义法,输出端定义法,(1)输入端定义法,设控制系统的典型动态结构图如下图所示， 称E(s)为误差信号。,2020

41、年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,112,3.6 线性系统稳态误差计算,(2)输出端定义法,输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。,误差本身是时间的函数，其时域表达式为：,动态分量,稳态分量,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,113,2)稳态误差 误差信号 的稳态分量 。 对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过程结束， 将趋于零。根据拉氏变换终值定理，稳定系统的稳态误差为 由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形

42、式确定后，系统的稳态误差就取决于以开环传递函数描述的系统结构。,3.6 线性系统稳态误差计算,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,114,例: 一系统的开环传递函数 求：u(t)=1(t)及t时的稳态误差 解:,u(t) = 1(t) 时, U(s)=1/s,u(t) = t 时, U(s)=1/s2,3.6 线性系统稳态误差计算,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,115,3.6 线性系统稳态误差计算,3）系统的分类,sv表示开环传递函数在s平面原点处的v重极点。 系统按v的不同取值可以分为不同类型。 v=0，1，2时，系统分别称为0型

43、，型和型系统。,系统的开环传递函数可表示为：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,116,3.6 线性系统稳态误差计算,4）给定作用下的稳态误差,（1）单位阶跃函数输入,根据定义，有：,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,117,3.6 线性系统稳态误差计算,对0型系统,对型系统及型以上的系统,由此可见，对于单位阶跃输入，只有0型系统有稳态误差，其大小与系统的开环增益成反比；而型和型以上的系统位置误差系数均为无穷大，稳态误差均为零。 为了降低稳态误差ess，在稳定条件允许的前提下，可增大开环放大系数K。,2020年10月3日6时12分,北

44、京科技大学自动化学院自动化系,118,3.6 线性系统稳态误差计算,（2）单位斜坡函数输入,定义,为系统的速度误差系数。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,119,3.6 线性系统稳态误差计算,对0型系统,对型系统,对型或高于型系统,由此可见，对于单位斜坡输入，0型系统稳态误差为无穷大；型系统可以跟踪输入信号，但有稳态误差，该误差与系统的开环增益成反比；型或高于型系统，稳态误差为零。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,120,3.6 线性系统稳态误差计算,（3）单位抛物线函数输入,定义,为系统的加速度误差系数。,2020年10月3日6

45、时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,121,3.6 线性系统稳态误差计算,对型或高于型系统,对0型系统,对型系统,对型系统,由此可知，0型及型系统都不能跟踪抛物线输入；型系统可以跟踪抛物线输入，但存在一定的误差，该误差与系统的开环增益成反比；只有型或高于型的系统，才能准确跟踪抛物线输入信号。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,122,3.6 线性系统稳态误差计算,下表列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳态误差。,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,123,例: 如下系统，当输入信号分别为I（t）、t和t2/2 时，试分别求出系

46、统的稳态误差。 解：此系统为I型系统 输入为阶跃、斜坡、抛物线输入时的稳态误差分别为：,3.6 线性系统稳态误差计算,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,124,3.6 线性系统稳态误差计算,5）扰动输入作用下的稳态误差,控制系统的典型结构图,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,125,3.6 线性系统稳态误差计算,(1)输入端定义法,扰动作用下系统的误差传递函数为,根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,126,3.6 线性系统稳态误差计算,(2)输出端定义法,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,127,3.6 线性系统稳态误差计算,2020年10月3日6时12分,北京科技大学自动化学院自动化系,128,3.6 线性系统稳态误差计算,若令U(s)=0，N(s)= N/s，则系统对阶跃扰动输入的稳态误差为：,可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，它与阶跃信号的幅值成正比，与控制器比例系数KP成反比。,解,若采用比例调