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文档简介

1、一.几个实例： 1. 曲边梯形的面积： 曲边梯形：三条边是直线，其中两条互相平行， 第三条与 前两条垂直，另一边是曲线 弧( 如图).,求由曲线弧 y= f(x) (连续) (f(x)0), x=a, x=b, y=0 围成的曲边梯形的面积 A。,第1节 定积分,第3章 一元函数积分学及其应用,(1).任取一组分点 把区间 a, b分成 n个小区间,-分割,(2).任取 则第 i个小曲边梯形的面积为,-取近似,-取极限,(3).整个曲边梯形的面积,-求和,1). 任取 把 a, b分成 n 段,(2). 任取 则在时间段 上可看成 等速运动,因而在 上走过的路程,2. 变速直线运动的路程:,(

2、3). 总路程,设一物体作变速直线运动, 速度v=v(t)(v(t) 0)连续,求从时刻 a 到时刻 b 所经过的路程 s ?,设一质点M在与ox 轴平行, 大小为F(x) 的力作用下, 从x=a 运动到 x=b, 求所作的功W。,(1). 任取 把a, b分成n个小区间,(2). 任取 则在 上所做的功,3. 变力做功:,(3).,二. 定积分的概念,定义1 设 f ( x ) 在a, b上有界,任取一组分点 ,把区间 a, b 分成 n个 小区间 小区间的长度 为 . 任取 作和式 .,如果不论 a,b 的分法和 的取法如何, 时和式 的极限存在, 且此极限值与a, b的分法和 的取法无

3、关, 则称此极限值为f(x) 在a,b上的定积分, 记为,若 f 在a, b上的定积分存在，则称 f ( x) 在a, b上可积,注. 由定义知, 定积分是一个与积分变量x 的记号无关 的常数, 而只与被积函数 f(x) 和积分区间a, b有关,即,(1). 设 ，则 f (x) 在a, b 上可积, 反之未必。,2. 什么条件下, f(x) 在a, b 上可积？,(3).若函数 f 在a, b 上单调且有界, 则 f 在 a, b 上 可积。,(2). 若函数 f 在a, b 上有界, 且只有有限个间断点, 则 f 在 a, b 上可积。反之，若 f 在a, b 上可积，则 f 在a, b

4、上必有界。,(4) 若 f (x) 在a, b 上可积，则改变f (x)在有限多个点 处的值后所得到的函数在a, b 上仍可积，且值不变。,3.,曲线弧 y= f (x) (f (x)0)与直线 x=a, x=b, y=0 围成的曲边梯形的面积,. 若已知 f (x) 可积，则说明积分值与a, b 的分法和,例求,解 ,故 f(x) 在0, 1 上可积，将0,1 n 等分，每个小区间的长度取,的取法无关， 故可取一种易于运算的特殊分法与特殊的来求定积分。,例试将下列和式的极限表示为定积分：,三.定积分的性质,8. (广义积分中值定理),定积分的几何意义：,当 f(x)0, ab 时，表示 y =

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