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1、习 题 课 二 十 九一、填空题1设C为闭曲线，取逆时针方向，则。解： 。2设为平面被圆柱截下的有限限部分，则解：，在面上的投影区域为。3设具有连续导数，且，C为半圆周，起点为，终点为，则。解：，曲线积分与路径无关，取：作为积分路径。二、解答题1计算曲线积分，其中C曲线上从到的一段。解：若化为定积分计算，则会出现的项，无法积分，故应该用公式，添加辅助线段：，则构成正向封闭曲线。，C，。CC12求，其中C从点经上半椭圆到达点的弧段，且。解：，且，.添加辅助线：，方向是从点到点，则 ，的参数方程为，。 故。3计算曲线积分，其中C是由点经半圆周到点再沿直线到点的路径。解：， ，。添加线段：，：，则为

2、正向封闭曲线。在内作正向椭圆：，则在由与所围成的复连通区域D内，由公式得：， 。4设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且，计算的值。解：，曲线积分与路径无关，代入，得，。取，作为积分路径，则。或，。注：由于本题并未要求，故可沿先铅直后水平的折线计算：。5设函数在内具有一阶连续导数，L是上半平面内有向分段光滑曲线,其起点为,终点为,记，（1） 证明：曲线积分I与路径无关；（2）当时，求I的值。证明：（1），曲线积分I与路径无关。解：（2）I与路径无关，可取从点到点再到点的路径， 。另解：，使得 （）。，。6已知曲线积分，其中的一阶导数连续，且，C是围绕原点一周的任一正向闭曲线，（1）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关；（2）确定，并求A的值。解：（1）在不包含原点的单连通区域内，任取两条具有相同起点与终点的曲线，再补上一条光滑曲线，使和成为围绕原点的正向闭曲线，由题意知。即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。（2），由（1）知，当时，由得，即。取C为正向椭圆，则。7设，为连续可微函数，且，对的任一闭曲线C，有，求和积分的值，其中是由至的一段弧。解：（1）由。，从而， ，由，得，故。（2）。8. 计算, 其中C为摆线x = t - sint - p, y = 1 - cost, 从t = 0到t = p的一段.

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