第1节 极坐标系与极坐标方程

1、2021新亮剑高考总复习选考模块第十二章第1节极坐标系与极坐标方程1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程1. 伸缩变换,一般不单独考查,常与极坐标、参数方程结合考查.2. 极坐标与直角坐标系的互化,是高考的热点.3. 极坐标方程的应用,偶尔考查高考动态知识拓展知识查缺补漏

2、目 录一、平面直角坐标系设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: = ( 0),的作用下,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 = ( 0) 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、极坐标系1.极坐标与极坐标系的概念在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴.平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox到射线 OM 的角度 来刻画(如图).这两个数组成的有序数对(,

3、)称为点 M 的极坐极角极径标, 称为点 M 的, 称为点 M 的.由极径的意义可知 0.当极角 的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)(0)建立一一对应的关系.我们规定,极点的极径 =0,极角 可取任意角.6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录2.极坐标与直角坐标的互化设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),则 = cos, 或 = sin2= 2 + 2, tan = ( 0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式.7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、常见曲线的极坐标方程8曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为 r 的圆 =r(02)圆心在(

4、r,0), 半径为 r 的圆=2rcos - 22圆心在 r, ,2半径为 r 的圆 =2rsin (0)高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录（续表）9曲线图形极坐标方程过极点,倾斜角为 的直线=(R)或=+(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos =a - 22过 点 , ,2与极轴平行的直线 sin =a(0 0), 点(x,y)在原曲线上,点(x,y)在变换 后的曲线 = ( 0),上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x,y)的坐标满足变换后的曲线方程.2.极坐标方程与直角坐标方程互化(1) 公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式 x=cos 及 y=sin 直接代入并

5、化简.(2) 整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如 cos ,sin ,2 的形式,进行整体代换.10高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”) = 2,(1)已知伸缩变换 : = - 1 y,经 变换得到点 A(2,4),则原来点的坐标为2A(4,-2).()(2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 =2asin .()(3)sin =1 与 cos =1 表示同一条直线.(4)点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为 2, 3 . 4答案解析11目 录

6、拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)错误,把点 A代入得 A(1,-8).(2) 错误,圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 =2acos .(3) 错误,sin =1 表示直线 y=1,cos =1 表示 x=1,不是同一条直线.(4) 正确.12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为2,3.解析因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为-,所以点 P 的极坐标为 2,- .33答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.在极坐标系中,圆 =2co

7、s 的垂直于极轴的两条切线方程分别为=(R)和cos=2.2解析把圆 =2cos 的方程化为(x-1)2+y2=1 可知,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,从而得这两条切线的极坐标方程为= (R)和 cos =2.2答案解析14目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.已知平面直角坐标系中点 A(-2,4)经过 变换后得 A的坐标为 - 1 ,2 ,则伸缩21 =,变换 为.41 =21 ,- 1 = = ( 0),= -2,解析设伸缩变换 : 则有 解得 42 = ( 0),1 ,2 = 4, =21412: ,=.=答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测

8、】4.在极坐标系中,直线 ( 3cos -sin )=2 与圆 =4sin 的交点的极坐标为(A)A. 2, B. 2, C. 4, D. 4, 6363解析将直线 ( 3cos -sin )=2 化为直角坐标方程,得 3x-y-2=0,将圆 =4sin 化为直角坐标方程,得 x2+(y-2)2=4,联立 3x-y-2 = 0,解得+ (y-2)2 = 4,2 = 3,故直线和圆的交点坐标为( 3,1),化成极坐标为 2,. = 1,6答案解析16目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识5.已知圆 C 的极坐标方程为 2+2 2sin - -4=0,求圆 C 的半径.4解析以极点为平面直角坐标系的原

9、点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系.由题意得圆 C 的极坐标方程为 2+2 2化简,得 2+2sin -2cos -4=0. 2sin - 2cos -4=0,22则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6.解析1718目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1伸缩变换例 1(1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 : = 3,求点2 = .1 ,-2 经过 变换所得的点 A的坐标.A3 = 3,(2)求直线 ly=6x 经过 :变换后所得到的直线 l的方程.2 =

10、,解析19考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)将已知坐标代入伸缩变换公式求解.(2)设出直线 l上的坐标 P,用 P的坐标表示已知直线上的对应点的坐标,代入已知直线即可得到所求直线方程. = 3, = 3,1解析(1)设 A(x,y),由伸缩变换 : 得到 1由于点 A 的坐标为,-2 ,2 = , =y,32于是 x=31=1,y=1(-2)=-1,A(1,-1).32(2)设直线 l上任意一点 P(x,y),1 =x,1将 代入 y=6x 得 2y=6x , 即 y=x.33 = 2故直线 l的方程为 y=x.20考点探究素养达成高考真题目 录 = ( 0),方法总结：伸缩变换的解题方

11、法:平面上的曲线 y=f(x)在变换 : = ( 0) , =代入 y=f(x),得=f,整理之后得到的作用下得到的方程的求法是将 =y=h(x),即变换之后的曲线方程.21考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】若函数 y=f(x)的图象在伸缩变换 : = 2,的作用下得到曲线的方程为 = 3y=3sin + ,求函数 y=f(x)的最小正周期.6解析由题意,把变换公式代入曲线 y=3sin + 得 3y=3sin, 2 + 66整理得 y=sin 2 + ,即 f(x)=sin 2 + ,所以 y=f(x)的最小正周期为2=.662解析22考点探究素养达成高考真题目 录考点 2极坐标

12、与直角坐标的互化例 2(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程.(2)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 sin2=cos 和 sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 和 C2交点的直角坐标.解析23考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)将 x2+y2=2,x=cos 代入 x2+y2-2x=0,得 2-2cos =0,整理得=2cos ,即曲线 C 的极坐标方程为 =2cos .(2)因为 x=cos ,y=sin ,由 sin

13、2=cos 得 2sin2=cos ,所以曲线 C1的直角坐标方程为 y2=x.由 sin =1 得曲线 C2 的直角坐标方程为 y=1.由2 = 1,= x,得 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1). = 1, = 124考点探究素养达成高考真题目 录变式设问在例 2(2)中,将 C2 的方程 sin =1 改为 = 2,其他条件不变,求曲线 C1 和C2 交点的直角坐标.解析曲线 C1 的直角坐标方程为 y2=x.由 = 2得曲线 C2 的直角坐标方2= , = 1,程为 x2+y2=2.由得故曲线 C和 C交点的直角坐标为 = 1.1222+ = 2(1,1)和(1,-1)

14、.解析25考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：极坐标方程与直角坐标方程的互化(1) 直角坐标方程化为极坐标方程:将公式 x=cos 及 y=sin 直接代入直角坐标方程, 化简即可.(2) 极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如 cos ,sin,2 的形式,再应用互化公式进行代换.其中,方程的两边同乘以(同除以) 及方程两边平方是常用的变形技巧.26考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 cos - =1(00),l:cos - =3,曲线 C 与 l 有且仅有一32个公共

15、点.(1)求 a 的值;(2)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.3解析38考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)曲线 C:=2acos (a0),变形为 2=2acos ,化为 x2+y2=2ax,则曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,圆 C 的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,l的直角坐标方程为 x+ 3y-3=0.由直线 l 与圆 C 相切可得|-3|=a,解得 a=1.2(2)不妨设 A 的极角为 ,B 的极角为 +,3则 |OA|+|OB|=2cos +2cos + 3=3cos - 3sin =2 3cos + ,

16、6当 =-时,|OA|+|OB|取得最大值,最大值为 2 3.639考点探究素养达成高考真题目 录2.在极坐标系中,已知ABC 的三个顶点的极坐标分别为A 2, ,B(2,),C 2, 5 .33(1) 判断ABC 的形状;(2) 求ABC 的面积.解析(1)如图所示,由 A 2, ,B(2,),C 2, 5得,|OA|=|OB|=|OC|=2, 33AOB=BOC=AOC=2,3AOBCOBAOC,|AB|=|BC|=|CA|,故ABC 为等边三角形.(2)由上述可知,|AC|=2|OA|sin =2 3, 3 解析=12 32 3sin =3 3.SABC2340考点探究素养达成高考真题目

17、 录数算极坐标方程中的化归思想若把直角坐标化为极坐标,求极角 时,应注意判断点 P 所在的象限(即角 的终边的位置),以便正确地求出角 .利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.41考点探究素养达成高考真题目 录例在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 2=4(cos +sin )-6.若以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1) 求圆 C 的参数方程;(2) 在直角坐标系中,点 P(x,y)是圆 C 上一动点,试求 x+y 的最大值,并求出此时点 P 的直角坐标.解析42考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)因为 2=4(cos +sin )-6,所

18、以 x2+y2=4x+4y-6,所以 x2+y2-4x-4y+6=0,整理得(x-2)2+(y-2)2=2. = 2 + 2cos,( 为参数).所以圆 C 的参数方程为 = 2 + 2sin(2)由(1)可得 x+y=4+ 2(sin +cos )=4+2sin + .4当 = ,即点 P 的直角坐标为(3,3)时,x+y 取得最大值,其最大值为 6.443考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0.(1) 求圆 C 的极坐标方程;(2) 设圆 C 与圆 :2

19、+2cos +2 3sin =12 交于 A,B 两点,求|AB|.解析44考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)根据题意,可得圆 C 的极坐标方程为 2-4cos =0,即 =4cos .(2)圆 的直角坐标方程为 x2+y2+2x+2 3y=12,联立+ 2-4x = 0,+ 2 + 2x + 2 3y = 12,2 2两式相减,可得 3x+ 3y=6,即 x=2- 3y代入圆 C 的直角坐标方程,可解得3 = 1, = 3 = 3, = - 3,或 于是|AB|= (3-1)2+ (- 3- 3)2= 4 + 12=4.45考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)如图,

20、在极坐标系 Ox中,A(2,0),B 2, ,C 2, 3 ,D(2,),弧 , , 所在圆的圆心分别是44(1,0), 1, ,(1,),曲线 M1 是弧 ,曲线 M2 是弧 ,曲线 M3 是弧 .2(1) 分别写出 M1,M2,M3 的极坐标方程;(2) 曲线 M 由 M1,M2,M3 构成,若点 P 在 M 上,且|OP|= 3,求 P 的极坐标.解析46考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由题设可得,弧 , , 所在圆的极坐标方程分别为 =2cos,=2sin ,=-2cos .所以 M1 的极坐标方程为 =2cos ,M2 的极坐标方程为 0 43 =2sin ,M3 的极坐标方

21、程为 =-2cos 3 . 444(2)设 P(,),由题设及(1)知若 0 ,则 2cos = 3,解得 = ;46若 3 ,则 2sin = 3,解得 = 或 =2 ;4433若3 ,则-2cos = 3,解得 =5 .46综上,P 的极坐标为 3, 或 3, 或 3, 2 或 3, 5 . 633647考点探究素养达成高考真题目 录2.(2019 年江苏卷)在极坐标系中,已知两点 A 3, ,B 2, ,直线 l 的方程为42sin=3. + 4(1) 求 A,B 两点间的距离;(2) 求点 B 到直线 l 的距离.(1)设极点为 O.在OAB 中,A 3, ,B 2, ,解析42由余弦

22、定理,得 AB= 32 + ( 2)2-2 3 2 cos-= 5.24(2)因为直线 l 的方程为 sin=3, + 4所以直线 l 过点 3 2, ,倾斜角为3.24又 B 2, ,所以点 B 到直线 l 的距离为(3 2- 2)sin 3 - =2.解析24248考点探究素养达成高考真题目 录3.(2018 年全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2.以坐原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1) 求 C2 的直角坐标方程;(2) 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.解析(1)由 x=cos ,y=sin 得 C2 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.由题设知,C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为