高三数学 第六篇 第三节直线的交点坐标与距离公式课件 理 北师大版

1、第三节直线的交点坐标与距离公式,1两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，两条直线的 就是方程组 的解，若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是；若方程组 ，则两条直线无公共点，此时两条直线；反之，亦成立,交点坐标,相交,交点的坐标,无解,平行,【答案】C,2已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是 则直线l1的方程为() Axy10 Bxy30 Cxy10或xy30 Dxy0或xy20,解得，c3或c1. l1的方程为xy10或xy30.,【答案】C 3过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|的值为() A6

2、 B. C2 D不能确定,【答案】B,4已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过点A作直线l与已知直线相交于B点，且|AB|5，则直线l的方程为_,求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5， 即x1为所求 设过点A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，,即3x4y10为所求 【答案】x1或3x4y10 5已知直线l1：kxy1k0与l2：kyx2k0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为_,【答案】k0或k1,已知点P(2，1),(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直

3、线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由,【自主探究】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件 此时l的斜率不存在，其方程为x2. 若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10.,此时l的方程为3x4y100. 综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100. (2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，,由lOP，得klkOP1，所以kl 2. 由直线方程的点斜式得y12(x2)， 即2xy50. 即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为,(3)由(2)可知，过P点不

4、存在到原点距离超过的 直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线,【方法点评】1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|. (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离d|y0a|. (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离d|x0b|. 【特别提醒】点到直线的距离公式当A0或B0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离,1已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段

5、长为5，求直线l的方程,【解析】方法一：由题意，直线l1，l2之间的距离为 且直线l被平行直线l1，l2所截得的线段AB的长为5.,设直线l与直线l1的夹角为， 则，故=45. 由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或90.又由直线l过点P(3,1)， 故直线l的方程为x=3或y=1. 方法二：设直线l与l1，l2分别相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0， 两式相减得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1x2)2(y1y2)225,由上可知，直线l的倾斜角分别为0或90， 故所求的直线方程为x3或y1.,求直线l

6、1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程 【思路点拨】转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解,设直线l2的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10. 在直线l上任取一点(1,2)， 由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得,直线l2的方程为x2y0. 方法二：设所求直线上一点为P(x，y)， 则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称,代入直线l1：y2x3得x12(y1)3， 整理得x2y0. 所以所求直线方程为x2y0. 【方法点评】常见的对称问题： (1)中心对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则

7、由中点坐标公式得 直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程,(2)轴对称 点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A0，x1x2) 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行,2在M

8、PQ中，已知点M的坐标为(3,5)，点P在直线l：x2y20上，点Q在y轴上，当P、Q在什么位置时，MPQ的周长最小？,【解析】如图所示，易得点M(3,5)关于y轴的对称点M2(-3,5)，关于直线l的对称点M1(5,1)， 则直线M1M2的方程为x+2y-7=0. 解得直线M1M2与y轴的交点Q. 又解方程组 解得交点P的坐标为 则MPQ的周长为 MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2. 故此时MPQ的周长最小,求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程 【思路点拨】 (1)先求交点，然后根据l3的斜率求出l的斜率，利用点斜

9、式写出方程； (2)利用直线系来求,方法二：ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10. 方法三：l过l1、l2的交点， 故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条， 将其整理，得(35)x(22)y(1)0.,代入直线系方程即得l的方程为5x3y10. 方法四：ll3，故l属于直线系5x3yC0 又l过l1、l2的交点，故l又属于直线系 (35)x(22)y(1)0,【方法点评】几种常用的直线系方程如下： (1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线

10、系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中A1B2A2B10，待定系数R.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2. (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0.,(3)平行直线系方程：与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(m为参数且mb)；与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(C，是参数) (4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是BxAy0(为参数)如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解,3求过直线l1：3x2y70

11、与l2：xy10的交点，且平行于直线5xy30的直线方程,【解析】方法一：由 得两直线交点为(1,2)， 又5xy30的斜率为5， 所求直线为y25(x1), 即5xy30. 方法二：设所求直线方程为： 3x2y7(xy1)0， 即(3)x(2)y70，,因此直线与5xy30平行， (3)5(2)解得 所求直线为3x2y7 (xy1)0， 即5xy30.,1(2009年江西高考)设直线系M：xcos (y2)sin 1(02)，对于下列四个命题： AM中所有直线均经过一个定点 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能

12、围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号) 【解析】点(0,2)到直线系M：xcos (y2)sin 1(02)的距离,此直线系M是以(0,2)为圆心，半径为1的圆的切线 如图1所示，选项A显然不正确，所有切线不会过一个定点 选项B正确，存在定点P(0,2)不在M中的任一条直线上,选项C正确，当n3，存在如图2正n边形，其边均为M中直线 选项D不正确，如图3，ABC与ABC 均为等边三角形显然面积不相等,【答案】B，C,2(2009年全国高考)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是1530456075 其中正确答案

13、的序号是_(写出所有正确答案的序号),【解析】求得两平行线间的距离为 ，则m与两平行线的夹角都是30，而两平行线的倾斜角为45，则m的倾斜角为75或15，故填. 【答案】,3(2008年广东高考)经过圆x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是_ 【解析】易知点C为(1,0)，而与直线xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为1，故待求的直线方程为xy10. 【答案】xy10,4(2008年上海高考)已知A(1,2)，B(3,4)，直线l1：x0，l2：y0和l3：x3y10.设Pi是li(i1,2,3)上与A、B两点距离平方和最小的点，则

14、P1P2P3的面积是_,【解析】取AB中点M，在PAB中由余弦定理知：PA2PM2AM22PMAMcosAMP，PB2PM2BM22PMBMcosBMP，二式相加得PA2PB22PM2 AB2，要使PA2PB2最小，只要求PM的最小值，即求点M到直线li(i1,2,3)的距离最小，可求P1(0,3)，P2(2,0)，P3(1,0)，SP1P2P3 13 . 【答案】,1用解析法研究平面内两条直线的位置关系时，有平行、相交、重合三种从方程的角度来说，对于两条直线的方程组成的方程组若有唯一解，则两直线相交；若无解，则两直线平行；若有无穷多个解，则两直线重合，反之亦然 2距离公式和中点坐标公式是解析

15、几何中的两个重要工具，应用广泛 (1)通过距离与长度的计算可以解决三点共线问题、三角形面积计算问题、四边形形状判断问题，以及距离最值问题,(2)通过中点坐标公式与其他知识的有机结合，可以解决一系列的对称问题 点P(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点的坐标为(2ax0,2by0) 点P(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点为P(x，y)，lPP且PP的中点在直线l上，所以x，y满足的方程组为,由此可解得P的坐标为(x，y) 代点转移法是求已知直线关于轴l对称的直线方程的有效方法，应通过解题把握实质,3直线系方程 具有某一个共同性质的一组直线叫做直线系，它的方程叫做直线系方程 (1)平行直线系：与AxByC0平行的直线可以表示为AxBym0(Cm)(其中m为参数)； (2)垂直直线系：