常微分方程课件：常微分方程的常见解法

1、一、 向量场,设一阶微分方程,满足解的存在唯一性定理的条件。,，满足,常微分方程的解法介绍,解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点,的切线斜率是 。,它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的,每一点都与向量场在这一点的方向相切。,向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方 程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走 向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的 性质来研究解的性质。,例1.3.1 在区域,内画出方程,的向量场和几条积分曲线。,解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。,点的向量相重

2、合。 L在每点均与向量场的向量相切。,定理1.3,L为,的积分曲线的充要条件是：,曲线,Maple指令：,DEtoolsphaseportrait # 画向量场及积分曲线 (diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定义微分方程 x=-2.2, # 指定x范围 y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 给出3个初始值 dirgrid=17,17, # 定义网格密度 arrows=LINE, # 定义线段类型 axes=NORMAL); # 定义坐标系类型,在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py),所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直接根

3、据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。,二、 积分曲线的图解法,三、一阶常微分方程的解法,1线性方程 2 变量可分离方程 3 全微分方程 4 变量替换法,5 一阶隐式方程 6 近似解法 7 一阶微分方程的应用,初值问题,的解为,初值问题,的解为,Bernoulli方程,求出此方程通解后,令,解法:,例 湖泊的污染,设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，,这些废水流入一个湖泊中

4、，废水流入的速率20,立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水,中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊,中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小,时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。,解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为,当 ,得,齐次方程,可化为齐次方程的方程,形如,的方程可化为齐次方程.,其中,都是常数.,1. 当,时, 此方程就是齐次方程.,2. 当,时, 并且,(1),此时二元方程组,有惟一解,引入新变量,此时, 方程可化为齐次方程:,或者有,不妨是前者, 则方程可变为,4. 对特殊方程,例 求方程,的通解。,令,代入原方程可得到齐次方程,例:雪球

5、融化问题,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在 开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。,解:设t时刻雪球的体积为,，表面积为,，,球体与表面积的关系为,变量可分离方程的应用,由题得,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数C和r代入关系式得,中连续且有连续的一阶偏导数，则,定理2.1 设函数,和,在一个矩形区域,是全微分方程的充要条件为:,（2.3.3),方程为全微分方程的充要条件,由于,3.全微分方程的积分,解：,当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.,(1) 线积分法:,或,由公式(

6、2.3.4)得:,故通解为,所以方程为全微分方程。,(2)偏积分法,由于,解：,假设所求全微分函数为,则有,求,而,即,从而,即,例：验证方程,解：,所以方程为全微分方程。,由于,由于,(3)凑微分法,方程的通解为：,利用条件,得,最后得所求初值问题得解为：,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,四、微分方程的近似解法,用一些函数去近似微分方程的解 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法,能得到解析解的方程：,线性方程、变量可分离的方程、 全微分方程以及能通过各种方法化为这些类型的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解

7、法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。,对初始值问题 构造迭代序列 该序列一致收敛到解，故迭代一定次数后就可以作为一个近似,1、 逐次迭代法,解：该初值问题近似解的迭代序列 如下,例 求初值问题的近似解,迭代的误差 (|x|n),例：求初始值问题解的迭代序列的前三项,解：该初始值问题等价的积分方程为 其迭代序列的前三项为,利用Maple软件可以求出更多的项 y0:=1; for j from 1 to 4 do yj:=1+int(x2+yj-12,x=0.x); end do;,近似程度的显示,y0:=1; for j from 1 to 7 do

8、 yj:=1+int(x2+yj-12,x=0.x): end do: plot(y0,y1,y2, y3,y4,y5,y6, y7,x=-0.9.0.9);,Taylor级数法,设初始值问题的解可以在 的邻域内展开为收敛幂级数 则 就是解的一个近似值 解函数在 点的值及各阶导数的计算：,例： 用Tailor级数法求初始值 问题的近似解。 解：计算解函数在x=0点的函数值和各阶导数值得 所以，该初始值问题的近似解为,用Maple处理 restart: ode1:=diff(y(x),x)-x2-y(x)2=0; for j from 1 to 7 do Order:=j*2: dsolve(o

9、de1,y(0)=1,y(x),type=series); solj:=rhs(%): end do: for j from 1 to 7 do yj:=solj; end do;,运行后的结果,用Maple 处理并用图形显示 restart: ode1:=diff(y(x),x)-x2-y(x)2=0; for j from 1 to 7 do Order:=j*2; convert(dsolve(ode1,y(0)=1,y(x), type=series), polynom ): solj:=rhs(%): end do: plot(sol1,sol2,sol3,sol4,sol5,sol

10、6,sol7,x=-1.1);,在区间-1,1的近似情况,在区间-0.5,0.5内的近似情况,设初始值问题的解在 可以展开为幂级数 代入初始条件 方程后得 展开后比较两端同次幂的系数确定,待定系数法,例：用待定系数法求,解： 令,由,由,得,得,于是,的近似解。,计算出解函数 在一系列节点 处的近似值, 节点间距,在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。,Euler折线法,为步长，通常采用等距节点.,利用Taylor公式,这样计算的

11、误差是h的二阶无穷小量,改进的Euler折线法,利用计算机编程 给出步长和初始值 循环计算各点上函数的近似值 显示结果 例 求初始值问题的数值解,具体实现,printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5: z0:=0.5: f1:=(x,y)-1+(y-x)2; f2:=(x,y)-2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)2); for n from 0 to 9 do xn+1:=h*(n+1); yn+1:=yn+h*f1(xn,yn); zn+1:=zn+h*f1(xn,zn)+h2*f2(xn,zn)/2; un+1:=xn+1+1/(2-xn+1);

12、 print (xn+1,yn+1,zn+1,un+1); od: 可以改变步长和增加分点来观察计算精度的变化情况,对于常微分方程的边值问题,的解,即,- (1),Runge-Kutta(龙格 - 库塔)法,Runge-Kutta方法的导出,有,上使用微分中值定理,在区间,-(2),引入记号,的近似值K。就可得到相应的,-(3),Runge-Kutta方法即(3)式,只要使用适当的方法求出y(x),上平均斜率,在区间,K可以认为是,在区间,上的平均斜率。,低阶Runge-Kutta方法,如下图,即,则(4)式化为,即Euler方法,Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法,由于,-(

13、4),(由(4)式),令,则(3)式化为,-(5),称为二阶Runge-Kutta法,高阶Runge-Kutta方法,未知,令,令,取,则,-(6),(6)式称为三阶Runge-Kutta方法,还可构造四阶(经典)Runge-Kutta方法,四阶(经典)Runge=Kutta方法有4阶精度,例 求初始值问题的数值解,利用四阶Runge=Kutta方法计算机编程 给出步长和初始值 循环计算各点上函数的近似值 显示结果,printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5: f:=(x,y)-1+(y-x)2; for n from 1 to 10 do xn:=h*n; k1

14、:=f(xn-1,yn-1); k2:=f(xn-1+h/2,yn-1+k1*h/2); k3:=f(xn-1+h/2,yn-1+k2*h/2); k4:=f(xn-1+h,yn-1+k3*h); yn:=yn-1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; un:=xn+1/(2-xn); print (xn,yn, un); od:,运行结果,适应范围 与变化率有关的各种实际问题 应用三步曲 (1) 建模 即根据实际问题建立起适当的微分方程， 给出其定解条件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻译 用所得结果来解释一些现象，或对问题的 解决提出建议或方法,建议: 模型要详

15、略得当,在用微分方程解决实际问题的过程中一定要意识到实际问题是十分复杂的，微分方程只能是在一定程度上对问题的一种近似描述，只要结果的误差在一定范围内即可.任何模型都不可能把影响问题的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得结果 十分精确.一个好的微分方程模型是在实际问题的精确性和数学处理的可能性之间的一个平衡.,有一段时间,美国原子能委员会(现为核管理委员会)是这样处理浓缩放射性废物的,他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中,然后扔到水深300英尺的海里。 这种做法是否会造成放射性污染,很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证,圆桶非常坚固,决不会破漏,这种做法是绝对安全的

16、。然而一些工程师们却对此表示怀疑,他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而原子能委员会有专家们则仍然坚持自己的看法。于是,双方展开了一场笔墨官司。 究竟谁的意见正确呢?看来只能让事实说话了。问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞,圆桶和海底碰撞时的速度有多大?,放射性废物的处理,大量破坏性实验,发现圆桶在40英尺秒的冲撞下会发生破裂,剩下的问题就是计算圆桶沉入300英尺深的海底时,其末速度究竟有多大了。 美国原子能委员会使用的是55加仑的圆桶,装满放射性废物时的圆桶重量为W527.436磅,而在海水中受到的浮力B470.327磅。此外,下沉时圆桶还要受到海水的阻力,阻力Dv,其中C为常

17、数。工程师们做了大量实验,测得C0.08。现在,取一个垂直向下的坐标,并以海平面为坐标原点(0)。于是,根据牛顿第二定律建立圆桶下沉时应满足方程 质量加速度=重力-浮力-摩擦阻力,模型及其解,o,y,mg,B,D,困难：无法知道下沉到海底的时间,积分和代入初始条件得：,最后再用数值计算可以得到水深300时的速度大小。,借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明, v(300)45.1英尺秒40英尺秒。 工程师们的猜测是正确的,他们打赢了这场官 司。现在,美国原子能委员会已改变了他们处理放 射性废物的方法,并明确规定禁止将放射性废物抛入海中。,一横截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,

18、由池底一横截面积为B的小孔放水. 求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间 .,例：水的流出时间,： 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,例,解：,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,值得进一步探讨的问题: 不同的形状,设在微小的时间间隔,水面的高度由h 降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,值得进一步探讨的问题: 漏斗型的容器,由于水的张力的原因， 每次水都无法全部留尽，总会 剩一小部分在

19、容器中。如何才 能让水尽可能少的留在容器 中？我们知道，水与容器接触 的面积越大，留在容器中的水 就越多先讨论一下漏斗的模 型。,y,容器的位置,可否将容器倾斜，使 上部的面积大于下部的 面积，使水流的速度更 快？ 倾斜角度？,容器的运动状态,容器的运动状态对流水的速度是肯定会 造成影响的，考虑极限的状态，如果容器以大于 等于当地重力加速度的加速度竖直向下运动，那 么，容器里的水就不会流出。容器以不同的方式 运动时对水的流出时间有多少影响？有没有一种 运动状态能加快水流的速度呢？,涡流的影响,涡流对水流的速度是有一定影响的。拿一 个水桶反复做这样的试验：首先将桶装满水，记 录水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，让水 自然从桶破了的孔中流出，测量流出的时间，然 后反复从同一高度作相同的试验，最后求出水自 然流尽所需时间的平均值；然后从同一高度作相 同的试验，不同的是用一根棍子绕同一方向在水 中搅动，使其产生涡流，然后重复上面的步骤。 最后发现通过两种方法测得的水流尽所需时间的 平均值有较大的差距，于是猜想有无涡流或许对 水流的速度也是有一定影响的。,五、 高阶常系数