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1、第五章 多元函数微分学及其应用,一. n维空间，区域,第1节 预备知识,n维空间中两点,与,之间的距离规定为,设,去心邻域为：,P为E的内点：存在P的一个邻域N(P), 使,P为E的外点：存在P的一个邻域N(P), 使,P为E的边界点：P的任何一个邻域中，既有E的内点， 又有E的外点.,-E的边界,P为E的聚点：P的任何一个邻域中，至少含有E的异于 P的 一个点。,E为区域: E为连通开集. 如,E为闭区域: 区域连同它的边界. 如,E为开集：E的各点都是内点.,E为连通集: 对任意的,都可用一条包含在E内,的折线把P1,P2连起来.,区域 E 的直径：, 二元函数的几何意义,二元函数z =f

2、(x,y)在几何上表示三维空间中的曲面 此曲面在xoy面上的投影即为f 的定义域。 如 表示球心在原点, 半径为1 的上半球面, 定义域为,三. 复 数,（一）.复数域C,复数域C是对实数域R的扩充,3.域C的几何解释,引入复数的代数运算后,符号i就不再是必须的了,可以把z=x+iy与有序数组(x,y)等同起来,从而复数z与(x,y)一一对应.,因此复数域C就与平面直角坐标系RR相对应,故称与C所对应的平面为复平面.,（二）.复数的表示法,2.用平面上的点(x,y)表示复数z=x+iy,(x,y),x,y,o,定义复数z=x+iy的模:,1. z=x+iy (代数法),(即点(x,y)到原点的

3、距离,显然 ),注:(1)复数不能比较大小,但两个复数的模可以比较大小；,(2)两个复数相等: 实部、虚部对应相等.,3.用复平面上的向量 表示复数z=x+iy, 其中点P(x,y),4.三角表示法,称为复数z=x+iy的三角表示法,如图所示,复数z=x+iy,r,5.指数表示法,称为复数的指数表示法,注:复数的各种表示法可以互化,解:,复变函数 ：,例如：,（三）复变函数,第2节 多元函数的极限与连续性,定义1: 设 z=f(x,y)=f(M) 在点集E上有定义, M0 (x0,，, y0 ) 为 E 的一个聚点, 若对任给 存在 使对满足 的 M(x, y),有: 则称 A为 f(x, y

4、)当 时的极限,记为:,一. 极限,注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立. 2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.,若M(x,y)按两种不同的方式趋于 时, f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.,二. 多元函数的连续性:,注: 1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广到多元 函数中, 如四则运算: 多元连续函数的和, 差, 积均为 连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.,定义2:,2. 多元初等函数在其定义区域内连续. 3. 有界闭

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