2422切线长定理

1、24.2.2 切线长定理,第24章 圆,已知o及o外的一点P，PA与o相切于A点，连接OA、OP，如果将o沿直线OP翻折，存在一点与A点重合吗？,思考:,O,P,A,B,你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？,PA、PB所在的直线分别是o两条切线。,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？,切线长概念,它们有什么区别与联系呢？,切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。,切线和切线长,比一比,O,A,B,P,1,2

2、,折一折,请证明你所发现的结论。,PA = PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,切线长定理,A,P,O,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平

3、分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,试一试,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB=,P,A,B,

4、C,O,60,（4）OP交O于M，则 ， ,M,牛刀小试,（3）若P=70，则AOB= ,110,（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA,OA=3,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。,易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,牛刀再试,探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB

5、，AB OP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2) 如果P=46,求COD的度数,C, O,P,B,D,A,E,切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为

6、证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,P97思考：,o,o,o,外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,练习1.如图，ABC中,C =90 ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.,例2 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充：