数学分析课件：数列极限与混沌

1、数学分析开放式系列讲座数列极限与混沌,一、对数的历史与自然对数底,常用对数,如何填补表中的空缺？如 5，15 等数的对数？,取一个数的较高次幂为底数，则可避免一些开方困难,Dilemma,取一个非常靠近1的数的非常高的方次。,极限的应用,银行利息问题,Google招聘广告，密码隐藏在e的127-131位数字上,张景中不可思议的e,科学出版社：2005.,二、斐波那契数列,某著名公司招聘笔试题 假设每一 对新生的小兔子,一个月后便会长大,且每一个月都生一对小兔子。 若现有一个小兔子,问一年后共有兔子多少只?,著名的斐波那契数列，由意大利数学家 斐波那契于1202 年从兔子的繁殖问题中提出,问题：

2、按照上述规律，则很长时间后， 兔群的增长率是多少？,3 自然界中的斐波那契数,生产生活中的斐波那契数列,混沌现象：蝴蝶效应,1961年美国气象学家洛伦兹， 进行长期气象预报的模拟数值计算， 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果， 以一个中间结果作为验算的输入数据. 他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次 的结果，甚至大相径庭.,“巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，会在德州引起一场暴风雨“,混沌定义：闭区间I上的连续自映射f(x)，如果满足下列条件，它确定的系统为混沌系统： (1)f的周期点的周期无上界 (2)比区间I上存在不可数子集S，满足 (i)对任意 ，若 ，有： (ii)对任意 有：,一维

3、Logistic映射从数学形式上来看,是一个 非常简单的混沌映射.,早在20世纪50年代，生态学家就利用这个方程， 来描述种群的变化。此系统具有极其复杂的 动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛 。,Alpha=1，x0=0.1到0.9迭代结果， 都收敛,x=0.5,alpha =3,放大其中一段结果,图1,混沌与分形-普适（费根鲍姆）常数,英国的海岸线地图,当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短

4、你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。 得到的结论是：海岸线的长度是多少：决定与尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零；,自然界中的分形,山,星 云,星 云,天空中的云朵,植物的叶子,从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原 先的一样。 这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。 分形可分为两类： 一是几何分形，它不断地重复同一种花样图 案； 另一种是随机分形。可由计算机方便的画出。,曼德耳布诺特集,分形语言,混沌与分形的关系,都是非线性方程描述的非平衡过程； 混沌运动，分形结构，初始状态有关； 混沌运动和分形结构都具有自相似性。,混沌与分形的关系,研究混沌与分形的意义,混沌与分形理论进一步表明，整体既不同于局部，又等同于局部，这是一种崭新的辨证整体观。,混沌与分形的关系,复杂性并不等同于组成系统的要素在数量上“多”，简单的根源是线性，而复杂的根源是非线