高等数学试卷：2004工科数分期中试卷参考答案_第1页
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1、东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数分考试学期04052（期中）得分学号 姓名 适用专业选修数分各专业考试形式闭考试时间长度120分钟题号一二三四五六得分一 填空题（每小题4分，共20分） 1当时，与为等价无穷小，则=。2设曲线，在的对应点处的的切线方程为。3设在点处连续，则。4设则= 。5（为有限数）的定义是: 对任意的存在当时，都有。二 选择题（每小题4分，共16分）1 设， 而在处连续，且， （ D ）（A） （B）（C） （D）不存在 2.设数列满足，则必有 （ D ）（A） （B）（C）不存在 （D） 3若与可导，且（为有限数）则 （ C ）（A）必有 （B）必有存在，且

2、（C）若存在，则 （D）若存在，未必 4设 （ D ）（A）当时，是无穷小 （B）当时，是无穷大 （C）在内有界 （D）在内无界三（每小题7分，共28分）1 计算极限解：原式-1分 -2分-3分-1分2 计算极限解：-1分 -1分-2分-2分所以，原式-1分3 设函数是由方程确定的隐函数，求.解：在方程两边同时求微分得： -4分 所以-3分4 设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于，求。解：在方程两边同时对求导数得-2分 所以-1分 所以-3分 -1分四（每小题7分，共21分）1 用语言证明。证明：先不妨设，则-2分对，要使，即，因为当时，-2分所以只须，所以取，则当时，-2分所以-1分2 证明函数在上不一致连续。证明：取-1分则构造两数列-2分则，-1分所以对，都能找到某个,使得而-2分所以，在上不一致连续-1分 3 证明数列是收敛的。证明：，因为对，有-2分 -2分所以对，取，则当有，所以数列收敛。-3分五（8分）设且有，证明数列收敛，并求出极限。证明：因为假设则，所以对有-3分所以，数列单调增加，所以收敛。-3分设其极限为则，所以或（舍），所以-2分六（7分）证明方程有且仅有一个实根，其中为正整数。证明：令，则，所以在上有一零点，很显然在上无零点。-3分假设在上至少有两个零点，设为其两零点，则对函数在上应用Rolle定理，得至少存在，使得，-2分

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