2第十二章全等三角形能力培优

1、第十二章 全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一 三角形全等的判定1如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F求证：ABECDF2如图，在ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE. 请你添加一个条件，使BDECDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明（1）你添加的条件是：_；（2）证明： 3如图，ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使ADBCEB，还需添加一个条件（1）给出下列四个条件：AD=CE；AE=CD；BAC=BCA；AD

2、B=CEB；请你从中选出一个能使ADBCEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使ADBCEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号_专题二 全等三角形的判定与性质4如图，已知ABC中，ABC=45，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）AB4 CD55【2012襄阳】如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AMAN.6【2012泸州】如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使

3、点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC专题三 全等三角形在实际生活中的应用7如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角ABC与DFE的度数和是（）A60 B90 C120 D1508有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线ACAB，再由点C观测，在

4、BA延长线上找一点B，使ACB=ACB，这时只要量出AB的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等3三角形全等的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”) (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”) (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)4直角三角形全等的判定方法 斜边

5、和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)【温馨提示】1两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等2有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等3“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等【方法技巧】1应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角） 全等三角形

6、的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若ABCDEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则ABC与DEF是对应角，边AC与边DF是对应边2判定两个三角形全等的解题思路：参考答案:1证明：平行四边形ABCD中，AB=CD，A=C，ABCD，ABD=CDB ABE=ABD，CDF=CDB，ABE=CDF 在ABE与CDF中， ABECDF2解：（1）(或点D是线段BC的中点)，中任选一个即可 （2）以为例进行证明： CFBE， FCDEBD 又，FDC=EDB， BDECDF3解：（1）添加条件，中任一个即可，以添加为例说明 证明：AE=CD，BE=BD，AB=CB又ABD=CBE，B

7、E=BD，ADBCEB （2）4B 解析：ABC=45，ADBC，AD=BD，ADC=BDH，AHE=BHD=CADCBDHBH=AC=4故选B5证明：如图所示， AEB由ADC旋转而得， AEBADC. 31，6C ABAC，ADBC， 21，7C. 32，67 45， ABMABN 又ABAB，AMBANB AMAN6证明：ABC和EDC是等边三角形， BCADCE60 BCAACDDCEACD， 即BCDACE 在DBC和EAC中， BCAC，BCDACE，DCEC， DBCEAC（SAS） DBCEAC 又DBCACB60， ACBEAC AEBC7B 解析：滑梯、墙、地面正好构成直角

8、三角形，又BC=EF，AC=DF，RtABCRtDEFABC=DEF，DEF+DFE=90，ABC+DFE=90故选B8解：在ABC和CED中，AC=CD，ACB=ECD，EC=BC，ABCCEDAB=ED即量出DE的长，就是A、B两端的距离9解：对理由：ACAB,CAB=CAB=90.在ABC和ABC中，ABCABC（ASA）AB=AB12.3 角的平分线的性质专题一 利用角的平分线的性质解题1如图，在ABC中，AC=AB，D在BC上，若DFAB，垂足为F，DGAC，垂足为G，且DF=DG求证：ADBC.2如图，已知CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC 求证：

9、OB=OC3如图，在RtABC中，C=90，AD是BAC的角平分线，DEAB于点E，AC=3 cm，求BE的长专题二 角平分线的性质在实际生活中的应用4如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A在AC、BC两边高线的交点处B在AC、BC两边中线的交点处C在A、B两内角平分线的交点处D在AC、BC两边垂直平分线的交点处5如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在_，理

10、由是_6已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等2角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【温馨提示】1到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点2到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个【方法技巧】1利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段若已知条件存在两条垂线段直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段考虑通过作辅助线补出两条垂线段2利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段 若已知条件存在两条垂线段先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系； 若已知条件存在一条垂线段考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等； 若已知条件不存在垂线段考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等参考答案:1证明：，AD是的平分线，在和中，又，2证明：AO平分BAC，ODAB，OEAC，OD=OE，在RtBDO和RtCEO中，OB=OC3解：C=90，BAC+B=90，又DEAB，C=AE