第2讲 不等式选讲

1、创新设计第2讲不等式选讲热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合1创新设计高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合2创新设计真题感悟1.(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa).(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围.解(1)

2、当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1).当x1时，f(x)2(x1)20； 当x1时，显然f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1).热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合3创新设计(2)当a1时，若ax1，则f(x)(xa)x(2x)( xa)2(xa)0，不合题意；所以a1，当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0)型不等式的解法(1) |axb|c(2) |axb|ccaxbc.axbc或axbc.3.|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求

3、解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合8创新设计4.基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立.ab定理 2：如果 a，b 为正数，则ab，当且仅当 ab 时，等号成立.23abc3定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc，当且仅当 abc 时，等号成立.定理 4：(一般形式的算术几均不等式)如果 a1，a2，an 为 n个正数，则a a an12na a a ，当且仅当 a a a时，等号成立.12n12nn 热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合9创新设计热点一绝对值不等式的解

4、法【例1】(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|. (1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合10创新设计2x4，x1，解(1)当 a1 时，f(x)2，12.可得f(x)0的解集为x|2x3. (2)f(x)1等价于|xa|x2|4.又|xa|x2|a2|，且当x2或xa时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4. 由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合11创新设计探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利

5、用分段函数的图象的几何直观性求现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合12创新设计【训练1】 (2019河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)2|x1|xm|(m0).(1) 当m2时，求不等式f(x)1的解集；(2) g(x)f(x)2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m的值.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合13创新设计

6、解(1)当m2时，不等式f(x)1化为2|x1|x2|1，当x1时，不等式化为x50，解得5x2 时，不等式化为 3x0，解集为.1综上，原不等式的解集为x|5x3.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合14创新设计x4m，xm.m所以函数 g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为 A(m4，0)，B(0，m)，C 3 ，0.1m2于是ABC 的面积 S 3 （m4）| m| m(m3)(m0).232令 S m(m3)12，得 m3 或 m6(舍去)，3故实数m的取值是3.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合15创新设计热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题角度1不等

7、式恒成立问题【例21】(2019长郡中学模拟)已知函数f(x)|xa|2x1|(aR).(1)当 a1 时，求 f(x)2 的解集；1(2)若 f(x)|2x1|的解集包含集合，1，求实数 a 的取值范围.2热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合16创新设计解(1)当a1时，f(x)|x1|2x1|，f(x)2|x1|2x1|2，x11x1，或2x12，上述不等式可化为或x12x12.1x12x21x2x12x11x1，2，2x1，或或解得4x3，x0x21140x2或2x1的解集；(2) 若x(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.2，x1，解(1)当 a1 时，f(

8、x)|x1|x1|，即 f(x)2x，1x1 恒成立，所以 x1；当1x1，所以12x1；当 x1 时，f(x)21 的解集为x|x.2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合20创新设计(2)当x(0，1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为x0xa，2所以a1，故 0a2.综上，a的取值范围为(0，2.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合21创新设计角度2不等式能成立问题【例22】(2019河北名校联考)已知函数f(x)|2xa|1，(1)当 a2 时，解不等式 f(x)x2；12(2)若存在 a3，1，使得不等

9、式 f(x)b|2xa |的解集非空，求 b 的取值范围.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合22创新设计解(1)当a2时，函数f(x)|2x2|1，不等式f(x)x2化为|2x2|0时，不等式化为x12x21x，1解得3x3，1不等式的解集为x3xaf(x)maxa；f(x)a 有解f(x)mina 无解f(x)maxa；f(x)a 无解f(x)mina.有解求解该类问题常见的错误是与不等式恒成立混淆.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合25创新设计【训练3】已知函数f(x)|x1|2xm|(mR)(1) 若 m2 时，解不等式 f(x)3；(2) 若关于

10、 x 的不等式 f(x)|2x3|在 x0，1上有解，求实数 m 的取值范围.解(1)当m2时，不等式为|x1|2x2|3，若 x1，则原不等式可化为x12x23，解得 x44x1，所以 33若1x1，则原不等式可化为1x2x23，解得x0，所以10，b0，且a3b32. 证 明 ：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)3（ab）23（ab）32( ab)2，44所以(ab)38，因此ab2.热点聚焦分类突破归纳总

11、结 思维升华真题感悟 考点整合28创新设计探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径， 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.在不等式的证明中，一方面要注意基本不等式成立的条件；另一方面要善于对“式子”进行恰当的转化、变形.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合29创新设计【训练4】(2019成都诊断)设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.111(1)证明：ab；364(2)比较|14ab|与 2|ab|

12、的大小，并说明理由.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合30创新设计3，x2，(1)证明设 f(x)|x1|x2|2x1，2x1，3，x1.由22x10，解得112x2.1111因此集合 M2，2，则|a|2，|b|2.111111111ab |a| |b| .所以363632624热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合31创新设计1122(2)解由(1)得 a 4，b 4.所以4a210，4b210，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合32创新设计1. 绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想.2. 利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等