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文档简介

1、科学出版社,第六节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,曲率,第四章,科学出版社,弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,科学出版社,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,科学出版社,曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注:,转角为,（单位弧长转过的角度）,直线上任意点处的曲率为 0 !,科学出版社,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解:,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,如

2、图所示 ,科学出版社,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,科学出版社,注:,1) 若曲线由参数方程,给出, 则,2) 若曲线方程为,则,科学出版社,例2.,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大等价于,最小,求驻点:,椭圆,科学出版社,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,K 最大等价于,最小,科学出版社,曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,1) 有公切线;,2) 凸向一致;,3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,科学出版社,例3.,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解:,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨

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