高二 数学 选修2-2函数的导数与单调性、极值

1、 导数与单调区间、极值重点：会利用导数解决函数的单调性，利用导数求函数的极值，以及已知单调性、极值求参数 难点：导函数与原函数性质的区分、恒成立问题。一、f(x)0(0 y=f(x) 单调递增 f(x)0 y=f(x) 单调递减f(x)增减性与 y=f(x)增减性无关。例如f(x)0 与 y=f(x)0 无关典型题二、求函数单调区间。例3判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）当导函数是二次函数时，也可以根据图像来看f(x)的符号。A变式1 ； A变式2 体会： 用导数求单调区间和用定义法求单调区间比较二变化率快慢与导数大小的关系典型题、变化率快慢与切线斜率例4如图3.3-6，水以

2、常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像思考 你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些增加还是减小 （）变化的快慢 绝对值的大小三、极值点思考：当时， 当时，那当x=b时，是多少呢？图像上最特殊的点是哪几个？的点 单调性的转折点 在一点附近函数值最大（最小）的点我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f

3、(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ 思考 极大值一定大于极小值吗？典型题 求函数极值例题 求函数的极值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:求,解方程=0,当=0时:(1) 如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极大值.(2) 如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极小值思考 导数值为0的点一定是极值点吗？为什么？极值点本质是单调性的转折点，所以肯定要一边0，一边0典型题 已知含参函数极值点、极值，求参数例题.已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，

4、x=1处取得极值,求函数f（x）的解析式及单调区间。 A变式1已知函数 当时，取极小值，求 。A变式2.已知函数，当时，有极大值；求的值；A变式3.已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。A变式 4已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则等于（）。用 b,c表示B变式1已知函数f（x）=mx3+3（m1）x2m2+1（m0）的单调递减区间是（0，4），则m=（）A3BC2D分析：首先对f（x）求导数f（x），由题意令f（x）0，根据条件得0和4是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系得到m的值解答：解：函数f（x）=mx3+3（m1）x2m

5、2+1（m0） 则导数f（x）=3mx2+6（m1）x， 令f（x）0即3mx2+6（m1）x0，m0，f（x）的单调递减区间是（0，4），0，4是方程3mx2+6（m1）x=0的两根，0+4=，04=0，m= 故选：BB变式2若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围典型题、已知含参函数单调区间，求参数.例题 若函数的单调递减区间是-1，2，则b= ，c= A变式1.若函数是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是 （ ）A变式2若函数是R上的单调减函数，则实数m的取值范围是 （ ）A变式3若函数的单调递增区间是，则b= c= B 变式1已知函数f（x）=（x+a

6、）27lnx+1在（1，+）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A（，+）B，+）C（，）D（，分析：f（x）在（1，+）上单调递增，则其导函数大于等于0恒成立解答：解：=0，在x（1，+）上恒成立，2x2+2ax70，=，令g（x）=在1，+）上单调递减，g（x）g（1）=5，即a故选：BB变式2恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围。 B变式3若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A1，0B1，C0，3D3，+考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：由函数在（，+）上是增函数，可得0在（，+）上恒成立，进而可转化为a2x在（，+）上恒成立，构造函数求出2x在（，+）上的最值，可得a的取值范围解答：解：在（，+）上是增函数故0在（，+）上恒成立即