2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第24讲.ppt

1、1,2,第四单元 三角函数与平面向量,3,第24讲,三角函数的性质,4,1.了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在(- , ）内的单调性.,5,A. , B.2k+ ,2k+ (kZ) C.(2k+ ,2k+ )(kZ) D.k+ ,k+ (kZ),1.函数y= 的定义域为( ),B,6,要使函数有意义， 得2sinx-10, 即sinx , 由图象可知， 2k+ x2k+ (kZ).,7,2.函数y=cos2x+sinx在- , 上的最小值为( ),A,A. B.-

2、C.-1 D.,y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1 =-(sinx- )2+ , 因为x- , ,所以sinx- , 所以ymin=f(- )=-(- - )2+ = .,8,3.函数f(x)= 的最小正周期为( ),B,A.2 B. C. D.,f(x) = = = (1+sinxcosx) = sin2x+ , 所以T= =.,9,4.函数y= sin( - )的单调递减区间是 .,3k- ,3k+ (kZ),y= sin( - )=- sin( - ), 所以2k- - 2k+ , 所以3k- x3k+ (kZ).,10,因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f

3、(x). 所以sin(-x+)+ cos(-x-) =sin(x+)+ cos(x-)， 即sin(x+)+sin(x-)= cos(x+)- cos(x-). 所以2sinxcos=-2 sinxsin,对xR恒成立, 所以tan=- ,所以=k- (kZ).,5.已知f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，则= .,=k- (kZ),11,1.基本三角函数的性质,12,2.函数y=Asinx+b和y=Acosx+b的最大值为|A|+b，最小值为-|A|+b. 3.对称性 (1)y=sinx的对称中心为(k,0)(kZ);对称轴为x=k+ (kZ). (2)y=cosx的对称中心

4、为(k+ ,0)(kZ); 对称轴为x=k(kZ). (3)y=tanx的对称中心为( ,0)(kZ); 无对称轴.,13,题型一 三角函数的对称性、奇偶性,例1,设函数f(x)=sin(2x+)(-0). (1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线x= ,求; (2)y=f(x)为偶函数，求； (3)若=k（kZ)，试证明y=f(x)为奇函数.,14,(1)因为x= 是函数y=f(x)的一条对称轴，则当x= 时，y取最值， 所以sin(2 +)=1, 所以 +=k+ (kZ). 又-0，所以=- . (2)由f(x)为偶函数，则当x=0时，y取最值， 所以sin(20+)=1,则=k+ (kZ

5、). 又-0，所以=- .,15,(3)因为f(x)的定义域为R，即定义域关于原点对称；当=k(kZ)时， f(x)=sin(2x+k)= sin2x （k为偶数） -sin2x (k为奇数）. 又f(-x)= sin(-2x)(k为偶数） -sin(-2x)(k为奇数） -sin2x(k为偶数） sin2x(k为奇数）=-f(x)， 所以y=f(x)为奇函数.,=,16,三角函数对称性、奇偶性的判定及应用与代数函数一致，但又有特殊性：三角函数在对称轴处取得函数的最值（最大值或最小值）；对于y=Asin(x+)，当=k(kZ)时，与y=sinx奇偶相同，为奇函数；当=k+ (kZ)时，与y=s

6、inx奇偶性相反，为偶函数；当k (kZ)时,为非奇非偶函数.,17,题型二 三角函数的周期、值域,已知函数 f(x)=sin2x+ sinxsin(x+ )(0)的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数f(x）在区间0, 上的取值范围.,例2,18,(1)f(x)= + sin2x = sin2x- cos2x+ =sin(2x- )+ . 因为函数f(x)的最小正周期为,且0, 所以 =,解得=1. (2)由(1)得f(x)=sin(2x- )+ . 因为0 x ，所以- 2x- , 所以- sin(2x- )1， 因此，0sin(2x- )+ ， 即f(x)的取值范围为0, .,1

7、9,要求（或应用）周期，常将三角函数统一成y=Asin(x+)+b(或y=Atan(x+)的形式，再利用公式T= (或 );要求函数的值域（或最值），常将三角函数统一为y=Asin(x+)+b，根据弦函数的范围求解；或整理成关于某一三角函数的一元二次，用配方法，或用换元法化为可用基本不等式等结论的形式.,20,题型三 三角函数的单调性,例3,(1)求函数y=3sin( -2x)的单调区间；,(1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- )，将2x- 看作一整体，则与y=sinx的单调性相反. 故由2k- 2x- 2k+ , 即k- xk+ (kZ)时函数单调递减; 所以递减区间为k- ,

8、k+ (kZ)； 同理，递增区间为 k+ ,k+ (kZ).,21,A.在0, ),( ,上递增, 在, ),( ,2上递减； B.在0, ), )上递增, 在( ,( ,2上递减 C.在( ,，( ,2上递增， 在0, ), )上递减 D.在, ),( ,2上递增， 在0, ),( ,上递减,(2)函数f(x)= （ ）,A,22,（2）f(x)= = = tanx， - tanx， 结合图象易知A正确.,x2k,2k+ )或 x(2k+ ,2k+(kZ),x2k+,2k+ )或 x(2k+ ,2k+2(kZ),=,23,求f(x)=Asin(x+)的单调区间时，首先要看A，是否为正；若为负

9、，则先应用诱导公式化为正，然后将x+看作一个整体，比如若A0，0，由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范围即为增区间.,24,已知函数f(x)=sin(x+)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M( ,0)对称，且在区间0, 上是单调函数,求和的值.,(方法一) 由于f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 即sin(-x+)=sin(x+), 所以sincosx-cossinx =sinxcos+cosxsin,25,即2sinxcos=0对xR恒成立, 所以cos=0，又0,所以= . 所以f(x)=sin(x+ )=cosx. 又f(x)的图象关于点M( ,0)对称, 即f

10、( -x)=-f( +x), 取x=0，得f( )=0，即cos =0. 又0,所以 =k+ (kZ)，,26,当k=0时，= ,f(x)=cos 在0, 上是减函数； 当k=1时，=2,f(x)=cos2x 在0, 上是减函数； 当k2时， ,f(x)=cosx 在0, 不是单调函数. 所以= ,= 或2.,27,(方法二) 以上同方法一，cos =0, 由f(x)在0, 上是单调函数，所以T= 2 , 即02,所以= 或=2,本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.,28,1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域

11、是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(-x)与f(x)的关系.,29,2.三角函数的单调性 (1)函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定，其基本思想是把x+看作一个整体,由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范围,所得区间为增区间;由2k+ x+2k+ 解出x的范围，所得区间即为减区间. (2)比较三角函数的大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数;利用函数的单调性导出结果.,30,(2009全国卷)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点( ,0)中心对称，那么|的最小值为（ ）,A,A. B. C. D.,31,（方法一）

12、因为函数y=3cos(2x+)的图象关于点（ ，0)中心对称， 所以2 +=k+ （kZ）, 所以=k- (kZ). 由此易得|min= ，故选A.,32,(方法二)因为y=cosx的对称中心为(k+ ,0). 令2x+=k+ (kZ)， 即y=3cos(2x+)的对称中心为 （ ,0)(kZ). 由题意 = ， 即=k- (kZ). 由此易得|min= .,33,(2009重庆卷)设函数f(x)=sin( - )-2cos2 +1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x0, 时y=g(x)的最大值.,34,(1)f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x = sin x- cos x = sin( x- ). 故f(x)的最小正周期为T= =8.,35,(2)(方法一)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)，它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x). 由题设条件，知点(2-x,g(x)在y=f(x)的图象上， 从而g(x)=f(2-x)= sin (2-x)- = sin - x- = cos( x+ ). 当0 x 时， x+ . 因此，y=g(x)在区间0, 上的最大值为 g