学案13 导数的应用（二）.ppt

1、学案10 导数的应用（二）,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,从近两年的高考试题看，利用导数研究函数的最值，以及利用导数解决实际应用问题是高考的热点，既有填空题，又有解答题，它常常与函数的单调性、函数的极值及与解析几何、不等式、数列综合考查. 预测2012年高考仍将考查函数的最值或实际应用，或者与函数的单调性、极值结合起来考查综合题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力.,考 向 预 测,返回目录,1.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数

2、f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),返回目录,(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,极值,返回目录,2.实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解.表示为：,函数建模,考点1 函数的最值与导数,2009年高考辽宁卷设f(x

3、)=ex(ax2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行. (1)求a的值，并讨论f(x)的单调性； (2)证明：当0, 时，|f(cos)-f(sin)|2.,返回目录,【解析】 (1)f(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1). 由条件知，f(1)=0, 故a+3+2a=0 a=-1. 于是f(x)=ex(-x2-x+2) =-ex(x+2)(x-1). 故当x(-,-2)(1,+)时，f(x)0. 从而f(x)在(-,-2),(1,+)内单调递减，在（-2，1）内单调递增.,返回目录,(2)证明：由(1)知f(x)在0,1上单调递增，故f(x)在0,1上的最大值为f(1

4、)=e，最小值为f(0)=1. 从而对任意x1,x20,1，有 |f(x1)-f(x2)|e-12. 而当0, 时，cos,sin0,1. 从而|f(cos)-f(sin)|2.,返回目录,本题主要考查函数的单调区间、最值及导数的应用，同时考查运算求解能力.,返回目录,已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0 x1)的最大值.,f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减. 当x=0时，有最大值f(0)=0. 若a0，则令f(x)=0，解得x= . x0,1,则只考虑x= 的情况. 如下表所示:,【解析】,返回目录,(1)0 1，即0a1，当

5、x= 时,f(x)有最大值f( )=2a . (2) 1，即a1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上,当a0,x=0时，f(x)有最大值0; 当0a1,x= 时,f(x)有最大值2a ; 当a1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.,返回目录,返回目录,考点2 最优化问题,一 艘 轮船在航行中的燃料费和它速度的立 方成 正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？,【分析】由题意构造函数，利用导数求最值.,【解析】设船的速度为x(x0)（公里/小时）时,燃料费用为Q元，

6、则Q=kx3. 由6=k103可得k= ,Q= x3. 总费用y=( x3+96) = x2+ . y= x- .令y=0得x=20. 当x(0,20)时,y0，此时函数单调递减. 当x(20,+)时,y0，此时函数单调递增. 当x=20时，y取得最小值. 此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.,返回目录,（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零;求y=0的根，求出极值点;最后写出解答. （2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点 ，也是最值点.,返回目

7、录,从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t0).试问当x取何值时，容积V有最大值?,返回目录,V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,00,得0a，此时V(x)为增函数；由V0，得 xa，此时V（x）为减函数.,返回目录,当 ，即t 时， 在x= 时，V有最大值 a3; 当 ,即0t 时， 在x= 时，V有最大值 .,返回目录,2010年高考陕西卷已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0. （1）求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f

8、(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.,返回目录,考点3 导数在函数中的综合应用,【分析】首先求出f(x)，利用f(x)0求出其单调递增区间，从而求得单调递减区间，再利用f(x)的草图确定m的取值.,【解析】 （1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a). 当a0, 当a0时，由f(x)0解得x ， 由f(x)0时，f(x)的单调增区间为(-,- )，（ ,+）,f(x)的单调减区间为（- , ）.,返回目录,(2)f(x)在x=-1处取得极值， f(-1)=3(-1)2-3a=0. a=1. f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3. 由f(x)=0解得x1=-1,x2=1,

9、由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3. 直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=-191, 结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(-3,1).,返回目录,（1）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，研究曲线的交点问题，考查运算能力及综合运用知识的能力. （2）近几年高考题目，对导数的应用考查得很频繁，可直接应用于对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合问题，填空、解答等题型很全面.特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题已成为高考的热点.既有填空题，侧重于

10、利用导数确定函数的单调性和极值，也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.,返回目录,已知mR，函数f(x)=(x2+mx+m)ex. （1）若函数f(x)没有零点，求实数m的取值范围； （2）若函数f(x)存在极大值，并记为g(m)，求g(m)的表达式； （3）当m=0时，求证：f(x)x2+x3.,返回目录,【解析】 （1）令f(x)=0，得(x2+mx+m)ex=0, x2+mx+m=0. 函数f(x)没有零点，=m2-4m2时，则-m-2,返回目录,当x=-m时，f(x)取得极大值me-m, 当m=2时，f(x)=（x+2）2ex0，f(x)在R上为增函数

11、， f(x)无极大值. 当m-2， 当x=-2时，f(x)取得极大值（4-m）e-2, me-m, m2, (4-m)e-2, m2.,返回目录,g(m)=,（3）当m=0时，f(x)=x2ex, 令j(x)=ex-1-x，则j(x)=ex-1, 当x0时，j(x)0，j(x)为增函数， 当x0时，j(x)0,j(x)为减函数. 当x=0时，j(x)取得最小值0. j(x)j(0)=0.ex-1-x0. ex1+x.x2exx2+x3,即f(x)x2+x3.,返回目录,返回目录,1.函数的最值 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值