6 7与6 8定积分的应用

1、第七、八节定积分的应用平面图形的面积体积经济应用小结一、平面图形的面积(微元法)1.选x为积分变量yy =f ( x)曲边梯形的面积b=Sf (x)dxaxoaxx+dx by =yf2 ( x)曲边梯形的面积bS =fy =bf( x)(x) - f(x)dx1x21aoa例 1 计算由两条抛物线y 2 = x 和y = x 2 所围成的图形的面积.,1)解1A =x - x2 )dx(01- x3232=x33 0= 1 .3x = y2(1y = x22.选y为积分变量ydx = j(y)d=j(y)dySxocabcydx = j2 (y)x = j1 (y)d=j1 (y) - j2

2、 (y)dyScocxab= 2 x 和直线y = x - 4所围计算由曲线y 2例2成的图形的面积.解两曲线的交点4 y2 = 2 x (2,-2), (8,4). y = x - 4 选x为积分变量28S =2 x - (-2 x )dx +2 x - ( x - 4)dx02y -2, 4( y + 4 - 1 y2 )dy = ( y2164S =+ 4 y -y) |= 1834-22-2选 y 为积分变量y = x -y2 = 2xx2y2+b2= 1的面积.例 3求椭圆a2解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积ba= 4 b 1 pa2 = pab.aA = 4a2- x2d

3、xa40二、体积1、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台(1)y = f (x), x = a, x = b围成图形绕x轴旋转而成的体积为yy =f ( x)取积分变量为x ，x a, b在a, b上任取小区间 x, x + dx，oxx + dxx取以dx 为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片（近似小圆柱）的体积为体积元素，dV= p f ( x)2 dxbV= pf 2 (x)dx旋转体的体积为xay1= f (x), y2= g(x), x = a, x = b围成图形绕(2)x轴旋转而成的体积为bV= p(f 2 (x) -

4、 g2 (x)dxxa(3)x = j(y), y = c, y = d围成图形绕y轴旋转而成的体积为dV= pj2 (y)dyydycx = j ( y)coxx1= f(y), x2= j(y), y = c, y = d围成图形绕(4)y轴旋转而成的体积为dV= p(f2 (y) - j2 (y)dyyc(5)y = f (x), x = a, x = b, y = 0围成图形绕y轴旋转而成的体积为特殊:f(x)为直线bVy = 2px |f ( x) | dxaf (x)x + Dxxx2y 2+= 1例1求(1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产a2b2生的旋转体体积y = ba-aV= p

5、y 2dxa2- x2解: (1)绕x轴xa)dx =2pb2a b24p12p0=(a- x22(ax -x) |0323a=ab 32a2a2- y 2x = ab2(2)绕y轴法一b2- y 2 )dy = 4pa2bb a(abb0 b2- y 2 )2 dy = 2p(b2= pb2Vy3-b法二a b x4paV= 2 2px | f (x) | dx = 4p a- xdx =a 222aby300例2求y = x2 , x = y 2围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.1V= p(- (x2 )2 dxx)2x0= 3p111= p(x -xdx = px-x |42510

6、25100例3求x2 + y2= a2绕x = -b(b a 0)旋转而成的旋转体体积解:将y轴平移到x=-b处则x2 + y 2= a2化为x = b 令x = x + b, y = y- y2a2即x = b a2- y 2aV= p(b +- y2 )2- (b - y2 )2 dya2a2y-a- y 2dy =8pb 1 pa2= 2p2a2ba= 8pa2b402、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.A( x) 表示过点 ox 且垂直于x 轴xx + dxaxbA( x)为x 的已

7、知连续函数b的截面面积，立体体积 V=dV= A( x)dx,A( x)dx.a三、经济应用1。已知生产某产品固定成本为c0 ,边际成本为 C(x)xC(x)dx + c0C(x) =x为产量，则总成本函数为02。已知销售某产品的边际收益为R(x)，x为销售量，x则总收益函数为R( x) =+R(0), R(0) = 0R ( x)dx0Q(t)3。已知某产品总产量Q的变化率为，则t（1）总产量函数为Q( x) =Q (t )dt + Q(0)t20t 到t 时间内（2）从的总产量Q(x) = Q(t)dt12t1L(x) ，则4.已知设利润函数的变化率为xL(x) =L(x)dx - c（1

8、）总利润函数为00（2）从 产量x1变到x2时的利润增量为xL(x)dxL(x) =2x1例1设固定成本C(0) = 2万元, R(Q) = 60 - 2Q,C(Q) = 30 + 4Q, 试确定厂商的最大利润例2已知某商场销售电视机的边际利润为L( x) = 250 -x( L(0) = -20)试求：10售出40台电视机的总利润？售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少？设连续复利率为r,一笔P元钱从现在起存入银行，收益流的现值和将来值P250t年后的价值为B = Pert1.收益流:随时间连续获得的收益称为收益流收益流对时间的导数称为收益流量2.收益流量:记为:P(t)存款的本

9、息和3.收益流的将来值:4.收益流的现值:t时刻的收益流体现在t=0时的价值按连续复利计算:(时间为t年)将来值= 现值 ert ,r - - - 连续复利利率设收益流的流量为P(t),计算在0,T内收益流的现值和 将来值:T-rtP(t)edt1.收益流的现值=0Tr(T-t)2.收益流的将来值=P(t)edt0资本价值=收益流的现值-投资额内部利率是使收益流的现值等于成本的利率例1假设年连续复利利率为0.1,计算收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值.例2设有一项计划现在需投入1000万元,在10年中每年收益为200万元,若连续利率为5%,设10年后设备折旧完,求资本价值

10、.四、小结求在直角坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）绕 x轴旋转一周y旋转体的体积绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积经济学上的应用:由边际函数求原函数由变化率求总量收益流的现值,将来值,投资价值,内部利率例2某煤矿投资2000万元建成, 在时刻t的追加成本为22C(t) = 6 + 2t 3 (百万元/ 年),增加收益为R(t ) = 18 - t 3试确定该矿何时停止生产方可获最大利润? 最大利润为多少?练 习 题一、填 空题：1、由 曲线 y = e x , y = e 及y轴所围成平面区域的面积是 _ .2、由 曲线y =

11、3 - x 2 及直线y = 2 x 所围成平面区域的面积是 .曲 线 y = x1 - x 2 , y = 1 , x = -1 , x = 1所围成3、由 平面区域的面积是_ .4、计 算y 2 = 2 x 与y = x - 4 所围的区域面积时，选用 作变量较为简捷 .5、由 曲线 y = e x , y = e - x 与直线x = 1 所围成平面区域的面积是 .6 曲线y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 )，a 0 ，则当a = 时，面积S 最小 .二、求 由下列各曲线所围成的图形的面积：1、y = 1 与直线y = x 及x = 2；x2、y = x 2 与直线y = x 及y = 2 x ；3 、 r = 2a ( 2 + cosq)；4、摆线x = a(t - sin t ) , y = a(1 - cos t )(0 t 2p ) 及x 轴；5、r = 3 cosq 及r = 1 + cosq 的公共部分；+ y 3 + 3axy.6、笛卡尔叶形线x 3三、 求抛物线 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在点( 0 ,-3 )和( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .四、 求位于曲线 y = e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的