《2.2 最大值、最小值问题》课件 4.ppt

1、第三章,2.2 最大值、最小值问题课件,1掌握求函数最值的方法 2了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用 3能利用导数求出某些特殊问题的最值 本节重点：求函数最值的方法、利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型,1最大值点与最小值点 函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_ 函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_,不超过f(x0),不低于f(x0),2最大值与最小值 最大(小)值或者在

2、极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有_与_的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值 函数的最大值和最小值统称为_,极大(小)值点,区间端点,最值,3导数在实际问题中的应用 应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题此过程用框图表示如下：,说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值

3、 (2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值,2正确区分极值和最值 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性 (2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值,3若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 4解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实

4、际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域,(1)在生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用函数与方程的思想去分析问题、解决问题 (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定该极值是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 (3)优化问题中要注意定义域的限制，当含有参数时，要注意运用分类讨论的思想,求函数的最值,点评设函数f(x)的图像在a，b上连续，且f(x)在(a，b)内可导，则求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下： (

5、1)求f(x)在(a，b)内的极值点； (2)求出f(x)在区间端点和极值点的值； (3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值,导数在实际问题中的应用,(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值,点评在利用导数解决有关函数最大值与最小值的实际问题时，关键是分析问题中的各个变量之间的关系，列出符合题意的函数关系式，并确定函数的定义域，然后再借助导数求解，特别要注意检验求得的结果是否符合问题的实际意义,恒成立问题,(2)由(1)知f(x)x33x29xc

6、， f(x)3x26x9， 当x变化时，有下表：,x2，6时，f(x)的最大值为c54. 要使f(x)54； 当c0时，c542c， c18. c(，18)(54，),点评不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解,含参数的讨论问题,综合应用,解析(1)设x(0，1，则x1，0)， 所以f(x)x3ax， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)x3ax(03，00，即f(x)0， 所以f(x)在(0，1上是增函数,(2014安徽理，18)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中

7、a0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值,解析本题考查了导数的应用及求导运算，x0，yx281(9x)(9x)，令y0，x9，x(0，9)，y0，x(9，)，y0，y先增后减，x9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题,3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为() A37B29 C5D11 答案A,解析f(x)6x212x，x2，2， 由f(x)0，得x0或x2. 可得f(x)在2，0上为增函数，在(0，2上为减函数， f(x)在x0时取得极大值即为最大值 f(x)maxf(0)m3. 又f(2)37，f(2)5， f(x)的最小值为37.,二、填空题 4函数f(x)x33x1在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是_、_. 答案31