28.4垂径定理.ppt

1、24.1.2 垂直于弦的直径,R九年级上册,新课导入,圆是轴对称图形吗？,(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形. (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论. (3)能利用垂径定理解决相应问题.,重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论. 难点：利用垂径定理进行计算或证明.,推进新课,什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？,回 顾,知识点1,圆的轴对称性,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得

2、到什么结论？,发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,探究,圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.,圆有哪些对称轴？,O,如何来证明圆是轴对称图形呢？,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在O中，CD是直径， AB是弦， CDAB，垂足为E,左图是轴对称图形吗？,满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？,证明：连结OA、OB. 则OAOB 又CDAB， 直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. 对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即O关于直线CD对称.,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.,知识点2,垂径定理及其推论,垂直于弦的直径平分弦，并

3、且平分弦所对的两条弧,垂径定理,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,图1,图2,图3,图4,CD是直径，AB是弦， CDAB,过圆心 垂直于弦,平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,垂径定理,推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,N,O,A,B,M,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.,注意,两,三,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所

4、对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,垂径定理的推论,垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系？,例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点

5、到弦的距离)为7.23m，求赵洲桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m.,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,随堂演练,基础巩固,1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴,B,2.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A

6、.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 3.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .,C,10,6,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E. 求证：四边形ADOE是正方形. 证明：ABAC，ODAB，OEAC. 四边形ADOE是矩形. 又OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,ABAC, 四边形ADOE是正方形.,5.如图，在半径为50mm的O中，弦AB的长为50mm.求： (1)AOB的度数； (2)点O到AB的距离. 解：(1)OA=OB=AB=50mm， AOB是等边三角形，AOB=60

7、. (2)作OMAB，则AOM= AOB=30. 在RtAOM中，AM= AB=25mm.,6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求O的半径. 解：连接OC. OM平分CD, OMCD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在RtOCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即O的半径为 m.,7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD

8、45m，求这段弯路的半径. 解：设半径为r. OCAB，AD=BD= AB=150m. 在RtODB中，OD2+BD2=OB2， 即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.,8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， AE-CE=BE-DE，即AC=BD.,9.O的半径为13cm，AB、CD是O的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.,综合应用,解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.

9、 如图(1)，过点O作OMCD，垂足为M，交AB于点E. ABCD. OEAB. 连接OB、OD. EMOM-OE7cm.,第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm， EM=OM+OE=17cm. 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.,10. 如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？,拓展延伸,解：OMON. 理由如下：连接OA、OC. 则OAOC.ONCD,OMAB, 又ABCD,CNAM, CN2AM2. 在RtOCN和RtOAM中， OM2OA2-AM2, ON2OC2-CN2, OM2ON2. OMON.,课堂小结,垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.,课后作业,1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的