2019版高考数学一轮总复习冲刺第十二章不等式选讲课时达标70不等式的证明

1、最新教学推荐第 70 讲不等式的证明 解密考纲 不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值33221已知 a， b 都是正数，且ab，求证： a b a b ab .因为 a， b 都是正数，所以a b0.又因为 ab，所以 ( a b) 20. 于是 ( ab)( a b) 20，即 ( a3 b3) ( a2b ab2)0 ，所以 a3 b3 a2b ab2.2已知 ，c都是正数，求证：a2b2 b2c2 c2a2abc.a ba b c证明 因为 b2 c22bc，a20，所以 a2( b2 c2) 2a2bc，同理， b2( a2c2) 2

2、ab2c，c2( a2 b2) 2abc2，222222222相加得 2( a b b c c a ) 2a bc2ab c 2abc ，从而 a2b2 b2c2c2 a2 abc( a b c) 222222由 ，c都是正数，得a0，因此 a b b cc a.a bbca bcabc3(2017 安徽联考) 已知函数f ( x) | x| |2 x 1| ，记 f ( x) 1 的解集为 M.(1) 求 M；(2) 已知 a M，比较 a2 a 1 与 1的大小 ax 1，x0，1解析(1) f ( x) | x| |2 x 1| 3x 1， 0x 1，得 x0，11或 0x13x1 1

3、x1 1，解得 0x2，故 M x|0 x2 (2) 由 (1) 知 0a2，132 12因为 a2 a1 aaa a aaaa，1最新教学推荐aa221当 0a1 时，a0，所以 a a 1a，21当 a 1 时，aaa 0，所以 a2 a 1a，aa221当 1a0，所以 a a 1a，21综上所述当 0a1 时， a a 1a，当 a 1 时，a21a21 1 ，当 1 .aaaaa4(2016 全国卷 ) 已知函数f (x) x 1 x 1， M为不等式 f ( x) 2 的解集22(1) 求 M；(2) 证明：当 a， bM时， | a b| | 1 ab| .1 2x， x 2，解

4、析(1) f ( x) 111， x ，2212x， x 2.1当 x 时，由 f ( x)2 得 2x 1，即 1x 2；11f(x11当 时，)2 ，即 ；2 x22x211当 x 2时，由 f ( x)2 得 2x2，解得 x1，即 2 x1.所以 f ( x)2 的解集 M x| 1x1 (2) 证明：由 (1) 知，当 a， b M时， 1a1， 1b1，从而 ( a b) 2(1 ab) 2a2b2 a2b2 1 ( a2 1)(1 b2)0.因此 | a b|0， b0， a3 b3 2. 证明：(1)(a b)( a5 b5) 4；(2) a b2.证明 (1)(a b)( a

5、5b5) a6 ab5b6 a5b3323344 ( a b ) 2a b ab( a b )2最新教学推荐2 2 2 4 ab( a b ) 4.2ab3ab3，所以 ( a b) 8，因此 a b2.6(2018 东北三校二模) 已知 a， b， c0， ab c 1. 求证：(1)abc3；4( a b) 2 1113(2) 3 13 13c 12.ab证明 (1) 由柯西不等式得( abc) 2(1 a1b1c) 2(1 2 12 12) () 2 () 2 (c) 2 3，ab111，即1时等号成立，当且仅当a b cabc3 a b c 3.(2) 由柯西不等式得(3a 1) (3 b 1) (3 c1) 1113a 1 3b 1 3c 13a 11112 9 3b 1 3c 13c