第3节空间中点、直线、平面之间的位置关系

1、2021新亮剑高考总复习立体几何第八章第3节空间中点、直线、平面之间的位置关系1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 理解空间直线、平面位置关系的定义.2. 了解可以作为推理依据的公理和定理.3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题1. 平面的基本性质.2. 空间两直线的位置关系.3. 异面直线所成的角高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、平面的基本性质三条公理的“文字语言”“符号语言”“图形语言”公理 1公理 2公理 3图形语言文字语言如果一条直线上

2、的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号语言Al,Bl,A,B lA,B,C 不共线A,B,C确定平面 P,P=l,Pl高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补二、空间中线、面之间的位置关系.平行 直线:在同一平面内没有 共面 公共点. 直线 相交 直线:在同一平面内只有1.空间中两条直线的位置关系 一个公共点.异面直线:不同在任何一个平面内, 没有公共点.高考动态知识拓展

3、知识查缺补漏目 录 直线在平面内:直线与平面有 无数个公共点. 直线与平面相交:直线与平面 只有一个2.空间中直线与平面的位置关系 公共点.直线与平面平行:直线与平面 公共点.没有 高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录平行平面:两个平面公共点.没有3.空间中两个平面的位置关系相交平面:两个平面不 重合且有一条公共直线 三、异面直线1.异面直线过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b,那么直线 a与 b所成的 锐角或直角 叫作异面直线 a 与 b 所成的角,其范围是(0,90 .高考动态知

4、识拓展知识查缺补漏目 录公理 2 的三个推论推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面.9高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相交于过点 A 的任意一条直线.()(2) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(3) 若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(4) 若直线 a 不平行于平面 ,且 a,则 内的所有直线与 a 异面.答案解析10目 录拓展知识查缺补漏

5、高考动态知识解析(1)错误., 相交于过点 A 的某一条直线.(2) 正确.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(3) 错误.如果两个平面相交,则它们有无数个公共点.(4) 错误. 内的直线可能与 a 异面,也可能与 a 相交.11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.在空间中,已知 a,b 是直线, 是平面,且 a,b,则 a,b 的位置关系是(D).A.平行C.异面B.相交D.平行或异面解析因为 a,b,所以两条直线平行或异面.故选 D.答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,

6、则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为(C).D.90A.30B.45C.60解析如图,连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D1B1C 为所求的角.又 B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60.答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.已知直线 a,b,c,有下面四个命题:若 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面;若 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交;若 ab,则 a,b 与 c 所成的角相等;若 ab,bc,则 ac.其中真命题的序号是.解析a,c 可能相交、平行或异面;a,c 可能相交、平行或异面;正确;a,c 可能相交、平行或异面.答案解析1

7、4目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】4.已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的(A.充分不必要条件C.充要条件A).B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知 a,b,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点,从而 , 有公共点,可得出 , 相交;反之,若 , 相交,则 a,b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件.答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识5.若直线 ab,且直线 a平面 ,则直线 b 与平面 的位置关系是 b与

8、相交或b或b.答案1617目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点一平面的基本性质及其应用例 1 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点.求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.解析18考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)如图,连接 EF,CD1,A1B.E,F 分别是 AB,AA1 的中点,EFA1B.又 A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F 四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE 与 D1F 必相交.设交点为 P,如图所示.则由 PCE,CE平面 ABCD,

9、得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1=DA,P直线 DA.CE,D1F,DA 三线共点.19考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 ,再证明其余元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线

10、,然后证明其余点也在该直线上.20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】如图所示,四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是梯形,BC1AD,BE1FA,G,H22分别为 FA,FD 的中点.(1) 证明:四边形 BCHG 是平行四边形.(2) C,D,F,E 四点是否共面?为什么?解析21考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由已知 FG=GA,FH=HD,得 GH1AD.2BC,四边形 BCHG 是平行四边形.又 BC1AD,GH2(2)C,D,F,E 四点共面,理由如下:由 BE1AF,G 为 FA 的中点知 BEGF,2四边形 BEFG 为平行四边形,EFBG.由(1)知 B

11、GCH,EFCH,EF 与 CH 共面. 又 DFH,C,D,F,E 四点共面.22考点探究素养达成高考真题目 录考点2空间两条直线的位置关系考向 1:两直线位置关系的判定例 2若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 内,l2 在平面 内,l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是(A.l 与 l1,l2 都不相交C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交).DB.l 与 l1,l2 都相交D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交分析解析根据平面性质、两直线的位置关系判断.由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一答案解析条与 l 相

12、交.故选 D.23考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:异面直线的判断例 3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问:(1) AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由.(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.分析(1)通过证明 MNAC,说明 AM,CN 共面,从而判断结论.(2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线,可用反证法证明.解析24考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)不是异面直线.理由如下:如图,连接 MN,A1C1,AC.因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点,所以 MNA1C1.又因为 A1AC1

13、C,所以四边形 A1ACC1 为平行四边形,所以 A1C1AC,所以 MNAC,所以 A,M,N,C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下:因为 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,所以B,C,C1,D1 不共面.假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存在平面 ,使 D1B平面 ,CC1平面 ,所以 D1,B,C,C1,这与 B,C,C1,D1 不共面矛盾,所以假设不成立,即 D1B 和 CC1 是异面直线.25考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识

14、空间点、线、面的位置关系.2.异面直线的判定方法:(1)定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线.(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而假设,肯定两条直线异面.26考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.a,b,c 表示不同的直线,M 表示平面,给出四个命题:若 aM,bM,则 ab或 a,b 相交或 a,b 异面;若 bM,ab,则 aM;若 ac,bc,则 ab;若aM,bM,则 ab.其中正确的为().AA. B.C.D.解析对于,aM,bM,则 a 与 b 平行、相

15、交或异面,为真命题.中,bM,ab,则 aM 或 aM,为假命题.命题中,a 与 b 相交、平行或异面,为假命题.由线面垂直的性质知命题为真命题.所以为真命题.答案解析27考点探究素养达成高考真题目 录2. 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四个结论:直线 AM 与 CC1 是相交直线;直线 AM 与 BN 是平行直线;直线 BN 与 MB1 是异面直线;直线 AM 与 DD1 是异面直线.其中正确的结论为.答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录解析因为点 A 在平面 CDD1C1 外,点 M 在平面 CDD1C1 内,直线

16、 CC1 在平面 CDD1C1 内,CC1 不过点 M,所以 AM 与 CC1 是异面直线,故错误;取 DD1的中点 E,连接 AE,则 BNAE,但 AE 与 AM 相交,故错误;因为 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内,M 在平面 BCC1B1 外,BN 不过点 B1,所以 BN 与 MB1 是异面直线,故正确;同理正确.29考点探究素养达成高考真题目 录考点 3异面直线所成的角例 4 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=1,AB=AD=2,E,F 分别是BC,DC 的中点,则异面直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值为(A).A. B. 105155C.3D.

17、455答案解析30考点探究素养达成高考真题目 录分析连接 B1D1,AB1,由 B1D1EF,可知异面直线 AD1 与 EF 所成的角等于AD1B1,分别求出 AD1,AB1,D1B1,然后利用余弦定理可求出答案.解析如图,连接 B1D1,AB1,因为 B1D1EF,所以异面直线 AD1 与 EF 所成的角等于AD1B1,在 AD1B1 中 ,AD1= 2 + 12= 5,AB1= 2+ A2= 5,D1B1= 12+ 12=2 2,11111所以 cosAD1B1= 5+8-5= 10.故选 A.2 52 2531考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：常用的平移法(即定义法)求异面直线所成

18、角的方法有:(1)利用图中已有的平行线平移;(2)利用特殊点(如线段端点或中点)作平行线平移;(3)补形平移.32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1AB= 21,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 .3取 A1C1 的中点 E,连接 B1E,ED,AE,易知 BDB1E.解析在 RtAB1E 中,AB1E面直线 AB1 与 BD 所成的角.设 AB=1,则 A1A= 2,AB1= 3,B1E= 3,所以2cosAB1E=1 E=1,所以AB1E= ,故异面123直线 AB1 与 BD 所成的角为.3答

19、案解析33考点探究素养达成高考真题目 录由于长方体中包含了线线平行、线面垂直等各种位置关系,故构造长方体来判断空间直线系,显得直观易解.构造时注意其灵活性,想象各种情况反复验证.34考点探究素养达成高考真题目 录例已知 m,n 是两条不同的直线, 为两个不同的平面,有下列四个命题:若 m,n,mn,则 ;若 m,n,mn,则 ;若 m,n,mn,则 ;若 m,n,则 mn.A其中所有真命题的序号是().C.A.B.D.解析答案35考点探究素养达成高考真题目 录解析对平面 , 可能垂直,如图(2)所于,由 m,可得 m,因为 n,所以过(4)所示,所以 n 与交线 g 平行,因为 mg,所以 m

20、n,故正确.故选36考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】设 l 是直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 l,l,则 B. 若 l,l,则 C. 若 ,l,则 lD. 若 ,l,则 l).B答案解析37考点探究素养达成高考真题38目 录解析(法一)设 =a,若直线 la,且 l,l,则 l,l,因此 不一定平行于 ,故 A 错误;由于 l,故在 内存在直线 ll,又因为 l,所以 l,故 ,所以 B 正确; 若 ,在 内作交线的垂线 l,则 l,此时 l 在平面 内,因此 C 错误;已知 ,若 =a,la,且 l 不在平面 , 内,则 l 且 l,因此 D 错误.(法二)

21、借助于长方体模型解决本题.对于 A,如图, 与 可相交;对于 B,如图,不论 在何位置,都有 ;对于 C,如图,l 可与 平行或 l;对于 D,如图,l 或 l 或 l.考点探究素养达成高考真题目 录1.(2018 年全国卷)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1= 3,则异C ).面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为(A.1B. 5C. 5D. 25652解析以 A角坐标系 A-xyz(图略),则 1 =(0,1, 所以 cos= 2= 5.112 55答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录2.(2017 年全国卷)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,ABC=120, AB=2,BC=CC1=1则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为().D. CA. B. C. 3215510533解析(法一)将直三棱柱 ABC-A1B1C1 补形为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接 AD1,B