绝对值及其几何意义_第1页
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文档简介

1、绝对值及其几何意义绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身,零的绝对值是零,负数的绝对值是它的相反数。如:|5|=5;|-5|=5;|0|=0绝对值的几何意义:可以借助数轴来加以认识,一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到_的距离。如a表示数轴上表示数a的点到_的距离,推而广之:x-a的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_的点之间的距离,x-a+x-b的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_ 两点的距离之和。对于一些比较复杂的绝对值问题,如果用常规的方法做会比较繁琐,而运用绝对值的几何意义解题,往往能取得事半功倍的效果。例1:已知,x-4=3,求x的值。解法一(代数法,分类讨论)(“零点分

2、段法”):解法二(几何法):由绝对值的几何意义可知,x-4=3表示数x的点到_的距离为_,结合数轴不难发现这样的点共有_个,分别是_和_,故x=_.例2:求x-1+x+2的最小值。解法一(代数法)(“零点分段法”):解法二(几何法):由绝对值的几何意义可知,分析:本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决,但若运用绝对值的几何意义解题,会显得更加简洁。解:根据绝对值的几何意义可知,x-1表示数轴上点x到_的距离,x+2 表示数轴上点x到_的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x,使该点到两点的距离之和最短,由数轴可知,x应在数轴上_的点,且最短距离为_,即x-1+x+2的最小值为_。推广:x-a+x-

3、b的最小值为_。x-a-x-b的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值,它有一个最_(大或小)值_。例3:对于任意实数,若不等式x+1-x-2k恒成立,则实数k的取值范围是什么?解:(提示:k是式子x+1-x-2的最大值还是最小值?)例4:如果x-3+x+1=4,则x的取值范围是什么? 解: 绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧,这种简捷、巧妙的方法,应引起重视。绝对值的性质:(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|0,这是绝对值非常重要的性质;(2)a=a,a00,a=0-a,a0(代数意义)(3)若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0;(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即|a|a,且|a|-a;(5)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义)(6)ab=ab(7)ab=ab(b0)(8)a2=a2=a2(9)a-ba+ba+b左边的等号当且仅当ab0时取到,右边的等号

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