第十章 练习题

1、第十章 练习题练习一一、 填空题1、设L为上半圆周：x2+y2 = R2，则=_ 2、设L是由x = 0，y = 0，x = 4，y = 2所围成矩形的边界，则= 二、 计算下列对弧长的曲线积分1、 ，其中L为由直线y = x及抛物线y = x2所围成的整个边界。2、 ，其中L是圆周：x2 +y2 = 1。3、 ，其中L为摆线的一拱：x = a (t sin t )，y = a (1- cos t ) (0t2 ) 4、 ，其中L为右半个单位圆。5、 ，其中L为圆周x2 +y2 = a x (a 0)*三、均匀曲线弧 (0t)的线密度为，求曲线关于z轴的转动惯量. 四、 择题设是从O (0,0

2、)到点M (1,1)的直线段，则与曲线积分不相等的积分是_（A）；（B）；（C）；（D）练习二一、 填空题1、 计算，其中O为坐标原点，A为点 (1,1) 。 （1）若OA为直线段y = x，则I = ； （2）若OA为抛物线段y = x2，则I = ； （3）若OA为x = 0，y = 1的折线段，则I = 2、 第二类曲线积分化为第一类曲线积分是_。 其中为有向曲线弧上点(x, y, z)处的_的方向角。二、 计算下列对坐标的曲线积分1、 ，式中L是从点A (-2, 0 )沿到B (2,0 )的曲线段。2、 ，其中L为圆周x2 + y2 = 2ax (a 0)，取逆时针方向。*3、 ，其中

3、L是由点A (0,0)沿经B (1,1)到C (2,0)的折线。4、 计算，AB是从点A (1,1,1)到点B (2,3,4)的直线段。三、 设方向依oy轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m的质点沿抛物线，从点A (1,0 )移到点B (0,1)时力场所作的功。四、 将下列对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分：，L为曲线上从A (-1,-1)到B (1,1)的一段弧。练习三一、 利用格林公式计算下列曲线积分1、 ，式中L是以A (1,1)到B (3,2)，C (3,5)为顶点的三角形域D的正向周界。2、 ，L为点O (0,0)到点A (a,0 ) 的上半圆周 x2

4、 + y2 = ax (a 0 )二、 计算I =，L为正向圆周x2 + (y-1)2 = R2 (R1)（提示：需分别讨论0R1的情形）三、 求变力=3x+y, 2y-x将质点沿椭圆4x2 +y2 = 4的正向转动一周所做的功。四、 验证(y-2e2xcosy)dx+(x+e2xsiny)dy = du(x, y)，并求原函数u (x, y)五、 验证曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。六、 利用曲线积分求星形线x = a cos3 t，y = a sin3t所围面积。七、 具有连续偏导数的f (x, y)应满足怎样的条件，才使与积分路径无关。练习四一、 填空题1、设是锥面被平

5、面z = 1所截部分，则= 2、设球面x2+y2+z2 =R2上任一点的密度与该点到原点的距离成正比，则球面的质量 m = 二、 计算下列对面积的曲面积分1、 ，是平面在第一卦限部分。2、 ，为球面x2+y2+z2 = a 2上zh的部分（0 h 0)之间的部分。（提示：将分为前后两块1及2）三、 求抛物面壳(0z1)的质量，曲面上每点的面密度等于该点到平面的距离。四、 设半球面：上点(x, y, z)处的面密度与该点到z轴的距离成正比，求此半球面的重心。练习五一、 填空题1、设是球面x2+y2+(z-R )2 = R2的外侧，则：（1）= _；（2）=_；（3）=_。2、第二类曲面积分化成第

6、一类曲面积分是 ，其中是有向曲面上点(x, y, z)处_的方向角。二、 计算下列对坐标的曲面积分1、 ，是平面x+y+z = 1在第一卦限部分的上侧。2、 ，其中是柱面x2+y2 =1被平面z = 0及z = 3所截得的在第一卦限部分的前侧。3、 ，其中是球面x2+y2+z2 =R 2下半部分的下侧。三、 已知f (x, y, z)连续，是平面x-y+z = 1在第四卦限部分的上侧，计算提示：利用两类曲面积分间的联系，化为第一类曲面积分计算四、 将对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，是平面在第一卦限部分的上侧。练习六一、 填空题1、 设是球面x2+y2+z2 =a2的外侧，则=_。2、 设

7、是光滑封闭曲面的内侧，已知所围成立体体积为V，则=_。二、 利用高斯公式计算下列曲面积分1、 ，其中为平面x+y+z = 1与三个坐标平面所围立体表面之内侧。2、 ，是柱面x2+y2 =1与平面z = 0，z =2所围立体表面之外侧。3、 ，其中f (u)具有连续的导函数，为球面x2+y2+z2 =R 2的外侧。三、 计算，是被z = 0所截部分的上侧。四、 已知为立方体0xa，0ya，0za的全表面的外侧，且向量，求：穿过流向外侧的通量。五、 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分1、 ，其中为圆周x2+y2+z2 =a2，x+y+z = 0，若从x轴的正向看去，圆周取逆时针方向。2、 ，其中为

8、x+y+z = 1在第一卦限部分的三角形边界，从y轴正向看去，方向取顺时针方向。复习题一、 计算下列各题1、 ，是从点(1,1,1)到点(4,4,4)的一段直线。2、 ，式中L为圆周x2+y2 =1。3、 ，式中L是从O (0,0 )沿至点B (2,0 )的上半椭圆。4、 ，其中L是从A (2,1)沿曲线到点B (10,4)的一段。5、 ，其中是柱面x2+y2 = a 2在0zh之间的部分。6、 ，其中是被z = 1割下的部分。（提示：利用对称性，只须计算在y0的部分1上的积分）7、 ，为锥面及z = 1，z = 2所围立体表面的外侧。8、 ，是被z = 0所截部分的上侧。二、 求力场= yz

9、, - zx, 2xy沿曲线L：x =2t-1，y =2t3，z = t 3从A (-1,0,0 )到B (3,8,8 )所做的功。*三、在xoy平面上有一段曲线，其方程为，1x4，求此曲线绕oy轴旋转所得的旋转曲面面积。五、 证，并求原函数u (x, y)及六、 证明题1、 若f (u)连续可导，则沿光滑的任意闭路L的线积分= 02、 证明面密度为1的圆锥体的侧面1，绕其对称轴的转动惯量I1与其底面2绕此轴的转动惯量I2之比为常数。（提示：首先取坐标系，建立圆锥面方程）3、设L是光滑的正向简单闭曲线，是L的单位法向量，u (x, y)具有二阶连续偏导，D是L所围区域，求证：3、 设L为包含坐

10、标原点在内的任意正向闭曲线，证明：自测题一、 填空题（每小题3分，共12分）1、 设L是任意简单闭曲线，a，b为常数，则=_2、设L是椭圆周的顺时针方向，其周长为s，则：=_3、 设：x2+y2+z2 =a2，则=_4、 设是球面x2+y2+z2 =a2的内侧，则=_二、 选择题（每小题4分，共8分）1、 设MEN是由M (0,-1)沿经E (1,0 )到N (0,1)的曲线段，则=_ （A）0； （B）； （C）； （D）2、 下列结论正确的是_D1：x + y1，x0，y0D：| x | + | y |1（A）， ；（B），：x2+y2+z2 R 2的表面；（C），：x2+y2+z2 =R2所围立体；（D），D：x2+y2 = R2所围区域.三、 计算下列各题（每小题8分，共48分）1、 ， L：，| x |a2、 ，其中L是由y = | x | 及y = x 2所围区域的正向边界。3、 ，其中L为圆周x2+y2 = R2上从点A (R , 0 )经第一象限到点B (0, R )的一段。4、 （1）L是椭圆 (x-2)2 +4(y-1)2 = 4，顺时针方向一周。 （2）L是星形线，顺时针方向一周。5、 ，其中为锥面介于z = 0及z = 1之间的部分。6、 ，