高中数学抽象函数常见题型及解法

1、抽象函数常见题型及解法综述一、 函数的基本概念问题1抽象函数的定义域问题例1 已知函数的定义域是1，2，求的定义域定义域是1，4例2 已知函数的定义域是1，2，求函数的定义域定义域是1，2抽象函数的值域问题例4 设函数(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y，(x + y) =(x)(y)总成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函数(x)的值域答案(x)0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段3抽象函数的解析式问题例5 设对满足 x0，x1的所有实数 x ，函数(x) 满足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式评析：如果把

2、x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略二、寻觅特殊函数模型问题1指数函数模型 例6 设 定义于实数集R上，当x0时，1 ，且对于任意实数x、y ，有(x + y) =，同时(1) = 2，解不等式(3xx)4联想：因为a= aa(a0，a1)，因而猜测它的模型函数为= a(a0，a1)(由(1) = 2，还可以猜想= 2)1x22.幂函数模型例8 已知函数对任意实数x、y都有=，且=1，=9，当0x1时，01时判断的奇偶性；判断在0，上的单调性，并给出证明；若a0且，求a

3、的取值范围联想：因为= (xy)，因而猜测它的模型函数为=(由=9，还可以猜想= x)0a2三、研究函数的性质问题1抽象函数的单调性问题例9 设(x) 定义于实数集上，当x0时，(x)1 ，且对于任意实数x、y，有(x + y) =(x) (y)，求证：(x) 在R 上为增函数评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联2抽象函数的奇偶性问题例10 已知函数(x) (xR，x0）对任意不等于零实数x、x 都有(xx) =(x) +(x)，试判断函数(x) 的奇偶性3抽象函数的周期性问题例11 函数

4、定义域为全体实数，对任意实数 a、b，有(ab)(ab) =2(a) (b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求证(x) 是周期函数联想：因为cos(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函数为y = cosx，由y = cosx的周期为，可猜想2C为的一个周期 四、抽象函数中的网络综合问题例13 定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有=，且当x0时，01判断的单调性；设A = (x，y)|，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，试确定a 的取值范围1a1解决抽象函数问题的常用方法一、赋值法观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一

5、般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的方法 1、赋特殊值 例1. 设函数，对任意实数、满足。（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式。解得且。 2、赋特殊函数 例2. 对于任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图像恒（ B ）（A）关于x轴对称（B）关于直线对称（C）关于直线对称（D）关于y轴对称二、递推法根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。 例3. 已知是定义在R上的函数，且对于任意都有，若_1_。三、比较，转化法有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题

6、应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。 例5. 已知定义在R上的函数满足：（1）对于任意都有；（2）当时，且。求在上的最大值和最小值。 6；-6 例6. 设函数的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且。（1）求的值；（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；（3）设，a、b、c，a、b不同时为零，若，确定实数a、b、c三者之间的关系。2008山东（21）（本小题满分12分）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n, 当x2时，有f(x)x-1.证（放缩法）：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有x-1.即f（x）x-1.2011湖北21（本小题满分14分）（）已知函数，求函数的最大值；