高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分

1、第十一章 曲线积分与曲面积分试题一填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x轴的转动惯量Ix= 。11.1.2.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标= ；= 。 =；=11.1.3.1在力的作用下，物体沿曲线L运动。用曲线积分表示力对物体所做的功 。11.1.4.2 有向曲线L的方程为，其中函数在上一阶导数连续，且，又在曲线L上连续，则有：，那么= ；= 。= =11.1.5.1 设L为xoy平面内直

2、线上的一段，则曲线积分= 。0 11.1.6.2 设L为xoy平面内，从点(c,a)到点(c,b)的一线段，则曲线积分可以化简成定积分： 。 11.1.7.2 第一类曲线积分的积分值为 。其中曲线L为圆周 11.1.8.3 第二类曲线积分的积分值为 。其中空间曲线L是从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的线段AO。11.1.9.3 第一类曲面积分的积分值为 。其中曲面是球面被平面截出的顶部（图-1）。 11.1.10.3 第二类曲面积分的积分值为 。其中曲面是长方体的整个表面的外侧，。 11.1.11.3 当曲面为xoy平面内的一个单连通闭区域时，第二类曲面积分可以化成二重积分，那么化成的

3、二重积分为 。 答案：1. 2. =；= 3.4. = = 5.0 6.7. 8. 9. 10. 11.二选择题（规范分值3分）11.2.1.1 在第一类曲线积分的定义中，极限中的代表的含义是（ ）。 D 难度值1A.微弧的长度； B.微弧的面积； C.微弧的体积； D.微弧长度的最大值。11.2.2.1 在第二类曲线积分的定义中，极限中的代表的含义是（ ）。 D 难度值1A. 微弧长度的最大值； B.微弧面积的最大值； C.微弧起点与终点构成向量长度的最大值； D.微弧在x轴上投影长度的最大值。11.2.3.2 当时，L是xoy平面内的连续曲线，方程，则第一类曲线积分的几何意义是（ ）。 C

4、 难度值2A. 曲面与xoy坐标平面所围成图形的体积； B.曲面在xoy坐标平面中投影区域的面积； C.以L为准线的柱面被xoy平面和曲面截成的一部分柱面的面积； D.空间曲线，在L上定义的一部分曲线的长度。11.2.4.2 若空间曲线L是光滑曲线，那么要求曲线L的参数方程的函数在闭区间上满足的条件是（ ）。 D 难度值2A. 函数一阶可导； B.函数一阶导数连续； C.函数二阶可导； D.函数二阶导数连续。11.2.5.1 曲线积分（ ）。 A 难度值1A. B. C. D.11.2.6.1 若曲线积分=5，则（ ）。A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 A 难度值111.2.7.

5、2 第一类曲线积分的积分值为（ ）。其中曲线L为从点O(0,0)到点A(0,1)，再从点A(0,1)到点B(1,1)的折线段。 C 难度值2A.0.5 B.1 C.1.5 D.211.2.8.2 第二类曲线积分的积分值为（ ）。其中曲线L为从点O(0,0)到点A(0,1)，再从点A(0,1)到点B(1,1)的折线段。 B 难度值2A.0 B.1 C.2 D.311.2.9.3 第一类曲面积分的积分值为（ ）。其中曲面是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面。 D 难度值3A. B. C. D.11.2.10.3 第二类曲面积分的积分值为（ )。其中曲面是球面，在部分的外侧。D (难度值3)A.

6、B. C. D.11.2.11.4 设曲面是上半球面，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则下列各式成立的是（ ) C 难度值4A. B. C. D.11.2.12.2 下列函数的曲线积分与路径无关的是（ ）。A. B. B 难度值2C. D.答案1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B三计算题（规范分值6分）11.3.1.2 计算第一类曲线积分。其中L为从点(0,0)到点(1,0)，再从点(1,0)到点(1,1)的折线段。难度值2解：设（如图2）L1的参数方程： L2的参数方程：；（1分） （1分）=+=2（4分）11.3.2.3 求第一

7、类曲线积分。其中L为摆线的一拱。难度值3解：由化第一类曲线积分为定积分的公式：（1分）（1分）所以=（2分） =。（2分） 11.3.3.2 计算第一类曲线积分。其中L为的圆周。难度值2 解：圆周的参数方程为：（2分）=（2分）=（2分）11.3.4.2 计算其中L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.难度值2解法一：直线L的方程为(2分) （2分）=（2分）解法二：直线L的参数方程为 （2分）=（2分）11.3.5.2 计算,其中L为抛物线上从点O到点B的一段弧. 解法一：化为对的积分，L：从0变到1（2分） =（2分）=（2分）难度值2解法二：抛物线L： 从点O到点B的一段弧的参数方程

8、： 代入积分得（2分） =（2分）=（2分）11.3.6.2 计算。其中曲线L为从点A(1,1,2)到点B(2,3,4)的有向线段。解：线段AB的参数方程为：，（2分）难度值2所以=（2分） =13.5（2分）11.3.7.4 证明第二类曲线积分在整个xoy平面内积分与路径无关。然后再求积分的值。其中曲线L为从点（0，1）到点（1，3）的任意光滑曲线。难度值4解：设， 则函数在整个xoy平面内具有一阶连续的偏导数，（1分）且，由积分与路径无关的条件，（1分） 所以积分与路径无关。（1分） 设L是点(0,0)到点(1,3)的有向线段，则参数方程为：（1分）所以=（2分） 11.3.8.2 应用格

9、林公式计算：，其中L是由抛物线和所围成区域D的正向边界曲线。 难度值2解：设 , 则（2分）由格林公式：所以：= （2分） =（2分） 11.3.9.4 利用格林公式计算曲线积分：其中为正的常数，L为从点沿曲线到点的一段弧. 难度值4解：补充积分路径：从点沿X轴到点的有向线段,由格林公式得 （2分）其中D为曲线与X轴所围成的半径为a的半圆域. 而（2分） 则 = =.（2分）11.3.10.4 计算第二类曲线积分其中为圆周上的从点(2,0)到点(0,0)的一段弧。难度值4解：补充一段弧L1：在x轴上从点(0,0)到点(2,0)的有向线段由格林公式得 （2分） =1 其中D为半圆周与x轴围成的区

10、域 L1的参数方程：，所以=0（2分） 从而 =（2分）11.3.11.4 利用高斯公式计算，其中为旋转抛物面介于及之间部分的下侧。 难度值4解：设平面为：（1分）则=（1分） =（4分） （高斯公式）（）11.3.12.4 利用高斯公式计算曲面积分：，其中是锥面的下侧. 难度值4解：补充辅助积分曲面，取上侧，由高斯公式知：（3分） 而（2分）=-=.（1分）11.3.13.3 利用高斯公式计算曲面积分：，其中是半球面 的上侧. 难度值4解：补充积分曲面，并取该曲面的下侧. （2分）由高斯公式知： （2分） 而 则原式=. (2分) 四综合应用题（建议分值7分）11.4.1.2 一力场由沿横轴

11、正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。 难度值2解：由题设条件，可以设力为 ，质点运动曲线L的参数方程为： ， 在一微小弧上力所作的微功（为微位移） 所以场力对质点m所作的功为：（3分）， 而， （1分） 所以 =（3分） 11.4.2.2 求抛物面壳的质量，此壳的面密度为。难度值2解：设曲面。由微元法，微元的质量为 所以 抛物面壳的质量 （第一类曲面积分）（3分） （1分） 则=（3分）11.4.3.3 求质量均匀曲面的质心坐标。难度值3解：由质心坐标公式,由曲面质量均匀，可设由 ，则（3分）所以曲面的质量 =（1分）且，同理

12、（1分）（1分）故曲面的质心坐标为 （1分）11.4.4.3 求微分方程得通解。难度值3 解：设 则 ，从而存在使得，积分与路径无关，（3分）所以 =（2分） 故原微分方程得通解为 （2分）2 证明题（建议分值7分）11.5.1.4 证明：在整个xoy平面除去y轴的负半轴及原点的区域G内是某一个二元函数的全微分；并求出一个这样的二元函数。难度值4证明：因为G为除去y轴的负半轴及原点外的整个xoy平面，所以G为单连通区域 设， 所以函数在G内具有一阶连续的偏导数；且，所以由定理，可得在G内为某一个二元函数的全微分即：=，此时积分与路径无关取，则对任意则： 。 11.5.2.2 设L为xoy平面内，x轴上从点到点的一线段，P(x,y)在L上连续，证明：第一类曲线积分、第二类曲线积分与定积分满足下列等式：= 难度值2证明：由L为xoy平面内，x轴上从点到点的一线段，可以设L的参数方程为：，所以；，将L的方程带入所以=；=故：=。11.5.3.3 设闭区域G是xoy平面内由分段光滑的曲线L围成，L的方向为逆时针方向，证明 当原点(0,0)不在G内部时，； 当原点(0,0)在G内部时， 难度值3证明：设 当原点(0,0)不在G内部时，