第5章 样本及抽样分布

1、1 统计的基本概念1.1 总体和样本总体是人们研究对象的全体; 总体中的每一个元素称为个体.备注：我们常关注总体的某项或几项指标. 总体中不同个体常取不同的数值，具有不确定性，故总体是一个随量,每个个体是随量的一个取值.今后不区分总体和相应的随量，笼统称为总体.从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本或子样统计的任务是由样本推断总体.12018/9/29简单随机样本从总体抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察并记录其结果。在相同条件下对总体X进行n次重复、独立的观察， 将n次观察结果按次序记为X1, X2, ,Xn ，由于是对总体X的观察结果，且各次观察是在相同条件下独立进行的，所以X1,

2、X2, ,Xn 是相互独立的，且与总体X有相同分布，则称X1, X2, ,Xn 是来自总体X的一个简单随机样本，n为样本容量。经n次观察得到一组实数x1, x2, ,xn, 它们依次是样本X1, X2, ,Xn的观察值，称为样本值。注：今后,凡提到样本都是指简单随机样本.22018/9/291 统计的基本概念1.2 统计量由样本推断总体情况,需要对样本进行“加工”,这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.统计量：设( X1 , X 2 ,L, Xn )是来自总体X的一个样本，若样本函数g( X1 ,L, Xn )不含任何未知参数则称g( X1 , X 2 ,L, Xn )是一

3、个统计量注:1统计量用于统计推断,不含任何总体 X 的未知参数;2 统计量是样本的函数,它是一个随布称为抽样分布.量,统计量的分32018/9/29常用统计量n1n(1)样本均值X =Xi ;i=1(2)样本方差n= 1- X)2S 2(Xin - 1i =1(3) 样本标准差S =(4) 样本k 阶原点矩 S 21n ( Xi=1=- X )2in -11nn=X k ,(k = 1,2,L)Akii =1(5) 样本 k 阶中心矩n1nB=- X )k , (k = 1,2,L)( Xkii =142018/9/29计算样本特征数：（1）反映集中趋势的特征数nX= 1 X样本均值ini=1

4、中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数或居中的两个数的平均数。众数：样本中出现最多的那个数。（2）反映分散程度的特征数：方差、极差、四分位差极差样本数据中最大值与最小值之差，R = M - m四分位数将样本数据依概率分为四等份的3个数椐，依次称为第一、第二、第三四分位数。52018/9/291.3 几个在统计中常用的抽样分布c 2分布定义X N (0,1)，( X1, X 2 ,., Xn ) 是X设总体的一个样本, 则称统计量 c 2 = X 2 + X 2 + X 2服从自1 c 2 (n)2nc 2由度为n的 c 2 分布，记作= n自由度是指独立随f(y)0.5量的个数， df

5、n=10.40.30.20.10n=4n=1011 13 15 17x13579图5-462018/9/29c 2分布的数学期望与方差设c 2c 2(n)，则E(c 2)=n，D(c 2)=2n.c 2分布的可加性c c (n ),c c (n ),c , c22222222设且相互独立，1121c+ c c (n+2222n )则11272018/9/29c 2分布的上a分位数+Pc(n) c(n)f(y)dy = a=22满足ac(n)2ac(n)2为c分布的2的数f(y)a上a分位数或上侧临界值，a其几何意义见图5-5所示.其中f(y)是c 2-分布的概率密度.xc(n)O2a图5-5c

6、(n)a有关2显然，在自由度n取定以后，.的值只与a例如，当n=21，a=0.05时，由附表5可查得，P c 2(21) 32.67 = 0.05.8c 2(21) =32.67即0.052018/9/29(P285)92018/9/292(30.90 性质 设(X1,X2,Xn)为取自正态总体XN(m ，s 2)的n样本，则(X- m)2is 2 c 2(n)i =1证明 由已知，有XiN(m ，s 2)且X1，X2，Xn相互独立，Xi - m N(0,1)且各 Xi - m 相互独立，则ss由定义得n(Xi - m)2 X- m 2nc 2 = = c 2(n).i =1iss2i =1

7、102018/9/292.t 分布 t（n）若 XN（0，1），Y c 2 （n），且相互独立，则随Xt =Yn服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt（n）.t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的曲线形状相似.理论上 n 时，Tt（n） N（0，1）.yN(0,1)t分布曲线Ox112018/9/29 ta (k ) =t 分布的上分位数定义2. 设t t(n), 对于给定的数a (0 a ta (n) = tft (x)dx = a(0 a 1)a的点ta (n)称为t(n)分布的上a分位数.ft (x)1-aax(k)Ot(k)ta1-a122018/9/29(附表4)1

8、32018/9/29t0.20 (9)3.F 分布 F（n1，n2）若 U c 2 （n1），V c 2U（n2），且相互独立，则随量n1 VF =n2服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F F（n1，n2）.1由 F 分布的定义可以得到 F 分布的一个重要性质：0.90.80.70.610.5若 F F（n1，n2），则 F F (n2 , n1 )0.40.3F分布F（10，50）的密度函数曲线0.20.1000.511.522.53142018/9/29返回F 分布的上分位数设F F (n1, n2 ), 对于给定的数a (0 a F(n , n) =有a12F (n ,n )a12则称Fa (n1 , n2 )为F (n1 , n2 )分布的上a分位数.fF (x)axFa (n1 , n2 )O152018/9/29附表6162018/9/29F0.05 (6,4),1.4正态总体下的统计量的分布设( X1 , X