一元二次方程应用题题型分类练习

1、一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解（1）形如ax2bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式（2） 二次三项式因式分解的公式 ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2bxc=0的两个根(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程=b24ac0时，能分解因式；当=b24ac0时，不能分解因式当=0时，二次三项式ax2bxc是完全平方式(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式(3) 因式分解二次三项式的步骤(a)求二

2、次三项式ax2bxc所对应的一元二次方程ax2bxc=0的两根x1、x2(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2) (4) 难点/混淆点： (a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理(5) 常见例题 - 4y28y1解：对应的方程为4y28y1=0根的判别式：=8*8-4*（-4）*（-1）=480所以它有两个不等的实根。它的两根是：启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提

3、高解方程的准确性，如解4y28y1=0可化为4x28y1=0再解；(b)把4分解为22，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化(6) 拓展：形如Ax2BxyCy2的因式分解 这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式. (7) 综合题：二次三项式3x24x2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？解：=(4)2432k=1624k(a)当0时，即1624k0，时，二次三项式3x24x2k在实数范围内能

4、分解因式；(b)当0时，即1624k0，时，3x24x2k不能分解因式；(c)当=0时，即1624k=0，时，3x24x2k是一个完全平方式当时，（二）列一元二次方程解应用题（1）解应用题步骤 即：1审题；2设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3找等量关系列方程；4解方程；5判断解是否符合题意；6写出正确的解（2）常见类型类型一、数字问题例1.两个连续奇数的积是323，求这两个数举一反三：【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数例2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数 举一反三：【变式1】有

5、一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数 类型二、传播问题例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？举一反三：【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台

6、？类型三、平均增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题： 平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)例1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 【变式1】某电脑公司2

7、001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率【变式2】青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。例2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。举一反三：【变式1】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.【变式

8、2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率.类型四、储蓄问题利息=本金利率期数利息税=利息税率(税率是20%) 本金(1+利率期数)=本息和本金1+利率期数(1-20%)=本息和(收利息税时)例1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率举一反三：【变式1】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取

9、出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）类型五、商品销售问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数例1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?举一反三：【变式1】某

10、超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8 000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1 600元，每件应降价多少元？【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可

11、达到1 600元？例2.某商店购进一种商品，进价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？举一反三：【变式1】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？例3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况

12、下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？举一反三：【变式1】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【变式2】西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以元千克的价格出售，每天可售出千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售

13、出40千克。另外，每天的房租等固定成本共元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？类型六、面积问题例1. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？举一反三：【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？【变

14、式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？例2.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80，求所截去的小正方形的边长。举一反三：【变式1】如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551。则道路的宽为?【变式2】一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方

15、形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？例3.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?举一反三：【变式1】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m(1)求鸡场的长与宽各是多少？(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

16、【变式2】某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪 (1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；(2)已知ab=21，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长 与宽各为多少米？(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同 时符合下述两个条件)：请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积例4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方

17、形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.举一反三：【变式1】将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.图2图4图3类型七、动态几何问题例1.如图4所示，在ABC中，C90，AC6c

18、m，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.举一反三：【变式1】已知：如图3-9-3所示，在中，,点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于

19、7cm2?说明理由.类型八、行程问题：类型九、工程问题：类型十 比赛和赠送问题例1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？举一反三：【变式1】参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？【变式2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.例2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一

20、件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？举一反三：【变式1】一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？类型十一、一元二次方程应用新题型1、趣味问题例1.一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？2古诗问题读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平

21、方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？3情景对话春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.4梯子问题一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？5.航海问题图5如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）6.图表信息如图6所示，正方形ABCD