自控原理1第四章

1、第四章根轨迹分析法p特征根（闭环极点）位置是确定系统稳定与否的唯一条件；p 特征根（闭环极点）位置和闭环零点将共同决定系统的动态性能；p 动态性能分析的难点确定特征根(闭环极点) 在左半平面的位置。第一节第二节第三节第四节第五节第六节 根轨迹的基本概念 一般根轨迹的绘制依据 一般根轨迹的绘 参量根轨迹 零度根轨迹 根轨迹分析法 则第一节根轨迹的基本概念一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-发生变化时，特征根随之行走的轨迹。二、简单系统根轨迹的绘制举例kk( 1 ) G( s )=( s )=; ( 2 ) Gkk( s+ 2) s( s+ 2) 三、根轨迹与系统性能之间的关系1、稳定性根轨

2、迹可确定系统所有特征根在S平面的位置2、稳态性能根轨迹可确定系统型别及开环增益3、动态性能根轨迹可确定系统的主导极点及其具置第二节一般根轨迹的绘制依据一、特征方程的一种演变形式根轨迹方程mK *(s+ zi)G k (s)= G(s)H(s)= i=11 + G k (s)= 0n(s+ p j)j=1k根轨迹增益、n极点个数、m零点个数、-pj极点坐标、-zi零点坐标。二、根轨迹方程的幅值条件和相位条件相角条件：mn(s+ zi)- (s+ p j)= (2l+ 1) (l= 0,1,2 L)i=1j=1幅值条件： ms + zi i=1=1nK *s + p jj=1回顾S平面矢量的表示形

3、式mK *(s+ zi)根轨迹方程： i=1= -1n(s+ p j)j=1：第三节一般根轨迹的绘则一、根轨迹的分支数开环极点数、特征根个数。二、根轨迹的连续性和对称性连续，复平面上根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的起点和终点起于开环极点，终于开环零点或无穷远。四、根轨迹在实轴上的分布规律奇偶分布特性。五、根轨迹的渐近线坐标六、根轨迹的重合点（重根） 七、根轨迹与虚轴的交点八、根轨迹的出射角和入射角倾角九、开环零极点与闭环极点特性十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹关注：绘图法则的来由！= (2l+ 1)n - mnm：- p j- - zi- a = j=1i=1n - m负反馈系统根轨迹增益

4、k*由0+变化时的根轨迹，称为一般根轨迹。根轨迹的重合点n 二重根（根轨迹的重合点）的确定：满足特征方程和特征方 程的导数方程。G k (s)= -1*k Q(s)= Q (s)P(s) Q(s)P-= 0G k (s)(s)P(s)K *（重合点时，根轨迹增益的取值） s1 ,（2重合点坐标）n 分离角的确定：d =1800举例：Ln 讨论重根的确定还有什么方法？G(s)=k= -1ks(s+ 2)G k (s)= k(s+ 2) = -1s(s+ 1)根轨迹与虚轴的交点令：s = j带入特征方程得：1 + Gk(j)= 0Re1+ G (j)= 0k（*产生等幅振荡时根轨迹增益的取值kIm

5、1+ Gk(j)= 0（等幅振荡频率）举例：问：利用ROUTH判据求解？k*G k (s)= -1s(s+ 1)(s+ 2)根轨迹的出射角和入射角mn相角条件： (s+ zi)- (s+ p j)= (2k+1) (k= 0,1,2L)i=1j=1K *(s+ 2)K *(s+ 2)举例：G k (s)=2； G k (s)=2s(s+ 3)(s + 2s + 2)(s + 2s + 5)mn出射角： -p a = (2k+ 1)+ (-p a + zi)- (-p a + p j)i=1j=1janm入射角： -zb = (2k+ 1)+ (-zb + pi)- (-zb + z j)i=1

6、j=1jb开环零极点与闭环极点特性mK g (s+ zi)nnm(s+ s j)= (s+ p j)+ K g(s+ zi)1 + G k (s)= 1 + i=1= 0n(s+ p j)j=1j=1i=1j=1当n-m2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即pp闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： 当n-m2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。k*K * = 6举例：Gk (s )= -1求另一闭环极点？s( s+1)( s+ 2)= 2nnsj= p jj=1j=1nnmsj= p j+K gzij=1j=1i=1典型开环零极点分布对应的典型根轨迹开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则

7、n 若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。n 简单绘制方法：依据复平面上的对称性和圆的直径画圆；已知根轨迹上的三点画圆。n 应用举例(s)= k(s+ 4)k(s+ 4)(s+ 3)2)G k (s)=1)G;ks(s+ 2)s(s+ 2)k(s+ 4)2k(s+ 4)G k (s)=4)G k (s)=3);22(s + 4)(s + 2s + 2)第四节参量根轨迹一、问题的提出：研究其它参量变化对系统性能的影响，并简化研究过程。二、解决问题的方法：等效根轨迹方程的引入（数学变换）。三、可能引发的问题1、等效根轨迹方程规范后右边为正1，此时原一般根轨迹的绘则不能直接使用；2、等效开环零点

8、的个数多于等效开环极点的个数；3、依据等效根轨迹方程绘制的根轨迹，其起点和终点一般不是原系统的开环零极点。举例s2 + 2sk + 1 = 0;s + a= -1;s - a= -1;s + 1= -1; s(s+ 1)s(s+ 1)s(Ts+ 1)22sk= -1;a= -1;a= 1;0.5Ts= -1; s2 + 1s(s+ 2)s(s+ 2)s + 0.5应用举例应用举例10(1+Ks)10ks例1G(s)H(s)= -1= -1s(s+ 2)s2+ 2s + 10n 例2k( s+ 4) k2k 1 += 0( s+1)( s+ 2 )+ k( s+ 4 )= 0= -1s +1(

9、s+1)( s+ 2) ( s+1)( s+ 2) s +10.5Ts2n 例3Gk (s) = -1= -1s(Ts +1)s + 0.5结构特点零点个数多于极点个数两种绘图方法1）直接作图；2）零极点颠倒。第五节零度根轨迹三、零度根轨迹（不同于一般根轨迹）部分法则2l1、根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角应改为： =2、实轴上的根轨迹与一般根轨迹的分布互补。3、根轨迹的出射角和入射角。= 0,1,2,L)(ln - m4、分支数不变，但零点不一定等于或少于极点的个数。可能有根轨迹起于无穷远处。举例a=Tsa(s+1)(s+ 2)21(a:0 ) ;= 1(T:0 ) ;= 1(a:0 ) s(

10、s+ 2)(s+1)(s+ 2)s一、问题的提出：参量根轨迹引发出的实际问题二、零度根轨迹方程及幅值和相角条件mmkg s + zis + zimnG k (s)= i=1 = 1 i=1 =1(s+ zi)- (s+ p j)= 2k (k= 0,1,2 L)nnK gs + p js + p ji=1j=1j=1j=1第六节根轨迹分析法一、稳定性分析1、结构无条件稳定系统与参变量取值无关，根轨迹全部位于S平面左半部。2、结构条件稳定系统与参变量取值有关，根轨迹位于S左右两部。3、结构不稳定系统与参变量取值无关，至少有一支根轨迹全部位于S平面右半部。二、一般根轨迹给定输入下稳态误差的计算1、根轨迹确定型别根轨迹在原点的起点个数2、根轨迹上确定点的系统开环增益根轨迹增益与开环增益的比值关系三、动态性能