《3.1.1空间向量及其加减运算》课件6.ppt

1、第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 3.1.1空间向量及其加减运算,1.空间向量的概念 (1)两个特征:_，_. (2)向量的模(长度):指的是向量的_，也可看作表示向量 的有向线段的_. (3)表示法:几何表示法:空间向量用_表示； 字母表示法:用字母表示，若向量的起点是A，终点是B， 可记作a.也可记作_，其模记为|a|或_.,大小,方向,大小,长度,有向线段,2.几类常见的空间向量,任意方向,0,0,1,相反,-a,相等,3.向量的加法、减法,b+a,a+(b+c),1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量

2、的模就越大.() (2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算.() (3)0向量是长度为0，没有方向的向量.() (4)若|a|=|b|，则a=b或a=-b.(),【解析】(1)正确.向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大. (2)错误.若空间两向量为共线向量，此时不能用平行四边形法则进行运算. (3)错误.0向量是模为0，方向任意的向量. (4)错误. |a|=|b|说明a与b长度相等，但两向量不一定共线. 答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成 的图形是. (2)

3、在空间四边形ABCD(字母顺次连接)中，连接AC，BD，则 为. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 化简后的结果是.,【解析】(1)在空间中把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心，以1为半径的球面. 答案:球面,(2) 答案： (3)由正方体的性质可得 答案：,【要点探究】 知识点1 空间向量及有关概念 1.理解空间向量概念时的四个关注点 (1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量，两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示，但是有向线段不是向量，它只是向量的一种表示方法.,(3)向量的相

4、等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量.,2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定，是任意的；由于零向量的这一特性，在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零，零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.,【微思考】 (1)空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征？ 提示:空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向. (2)两空间向量为什么不能比较大小？ 提示:每个向量都是由大小与方向两个因素构成，其中

5、长度可以比较大小，但方向无法比较大小，所以向量不能比较大小.,【即时练】 给出下列命题:若|a|=0，则a=0；若a=0，则-a=0； |-a|=|a|，其中正确命题的序号是. 【解析】若|a|=0，则a=0，故错误；正确；正确. 答案:,知识点2 空间向量的加法、减法运算 1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法，“首尾顺次相接，由首指向尾”；减法，“起点相同，尾尾相连，指向被减”.,(2)图形叙述: 向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连,向量加法平行四边形法则: 特点:共起点,向量减法三角形法则: 特点:共起点，连终点，方向指向被减数,2.特殊位置关系的加减法 (1)共

6、线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则，可利 用三角形法则. (2)共终点向量:共终点的向量相加减，可通过平移两向量使两 向量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算. (3)常用关系与常用数据: ABC中， =0； 以a，b为邻边的平行四边形中，ab表示平行四边形的对角线； 0+a=a.,【知识拓展】向量的移项 向量的减法是由向量的加法来定义的，减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.由此可得出向量的移项方法，即将其中任意一个向量变号后，从等式一端移到另一端，等式仍然成立，如a+b+c=d可得a+b=d-c.,【微思考】 (1)首尾相接的若干个空间向量的和如何求？ 提示:首尾相接的若干

7、向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:,(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和是什么？ 提示:由图可得,【即时练】 化简下列各式: (1) =. (2) =.,【解析】(1) 答案： (2)方法一：因为 所以,方法二： 答案：0,【题型示范】 类型一 空间向量的概念及其简单应用 【典例1】 (1)(2014成都高二检测)在如图所示的平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，与向量 相等的向量有个(不含 ).,(2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB=3，AD=2，AA1=1的长方 体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中， 单位向

8、量共有多少个？ 试写出模为 的所有向量.,【解题探究】1.题(1)中与 相等的向量具有什么特点？ 2.题(2)中单位向量的模有何特点？ 【探究提示】1.两个特点，即此向量的大小与方向与 均 相同. 2.单位向量的模为1.,【自主解答】(1)由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知向量 与向量 方向相同，长度相等，故与向量 相等的向量有 3个. 答案:3 (2)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 这8个向量都是单位向量， 而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. 由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 ，故模为 的向量有 共8个.,【延伸探究】把题(1)中的“与向量 相等的向量”

9、改为 “向量 的相反向量”结论如何？ 【解析】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知向量 与向量 方向相反，长度相等，故向量 的相反向量有4个. 答案:4,【方法技巧】处理向量概念问题的解题关键及注意点 (1)解题关键:明确向量相关概念的特点. 向量:判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可. 单位向量:方向虽然不一定相同，但长度一定为1.,(2)明确两个关系做概念辨别题. 模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. 向量的模与向量大小关系:由于方向不能比较大小，

10、因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的.,【变式训练】如图所示，a，b是两个空间 向量，则 与 是向量， 与 是向量.(选填相等、相反) 【解析】由图知 =a+b， =a+b，故向量 与 是相等 向量.向量 =a， =-a，故向量 与 是相反向量. 答案:相等相反,【补偿训练】在平行六面体ABCD-ABCD中，模与向量 的模相等的向量有() A.7个B.3个C.5个D.6个 【解析】选A.,类型二 空间向量的加法、减法运算 【典例2】 (1)(2014合肥高二检测)已知空间四边形ABCD中， =a， =b， =c，则 等于() A.a+b-c B.-a-b+c

11、C.-a+b+c D.-a+b-c,(2)如图所示，已知长方体ABCD-ABCD.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果.,【解题探究】1.题(1)中向量 的相反向量如何表示？ 2.题(2)图中的向量 与向量 是否相等？ 【探究提示】1.向量 的相反向量为 . 2.由图知向量 与向量 是相等向量.,【自主解答】(1)选C.因为 =b-a+c，所以 abc. (2) 向量 ， 如图所示,【延伸探究】试把题(2)中长方体中的体对角线所对应向量 用向量 表示？ 【解析】在平行四边形ACCA中，由平行四边形法则可得 ，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可 得 ，故,【方法技巧】 1.空间向量加

12、法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.,2.化简空间向量的常用思路 (1)分组:合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. (2)多边形法则:在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. (3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途

13、径).,【变式训练】在四棱锥V-ABCD中，化简 【解题指南】充分利用三角形，相反向量等概念进行化简. 【解析】,【补偿训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中， 若 =a， =b， =c，则 =. 【解析】 =-c-(a-b)=-c-a+b. 答案:-c-a+b,【拓展类型】空间向量加法、减法的应用 【备选例题】(1)已知平行六面体ABCD-ABCD. 求证: (2)一艘船从A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的 方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行的速度的 大小与方向(方向用与水流速间的夹角表示).,【解析】(1)因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以 所以 又因为

14、所以 所以,(2)如图，设 表示船垂直于对岸行驶的速度， 表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边 形ABCD，则 就是船实际航行的速度，在RtABC 中 所以 因为tanCAB= 所以CAB=60.,【方法技巧】空间向量等式证明的两个技巧 (1)数形结合:构造对应图形，在图形中标出空间各向量，以便灵活应用平行四边形法则或三角形法则. (2)由繁到简:化简多个向量时，观察分析“首尾相接”的向量使之结合，从而化多为少.,【易错误区】空间向量的概念理解不到位而致误 【典例】下列说法中，错误的个数为() (1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同. (2)若向量 ， 满足

15、| | |， 且 与 同向， 则,(3)若两个非零向量 与 满足 =0， 则 ， 为 相反向量. (4) 的充要条件是A与C重合，B与D重合 A.1B.2C.3D.4,【解析】选C.(1)错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相 同，但与起点和终点的位置无关. (2)错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. (3)正确. + =0，得 =- ，且 ， 为非零向量，所 以 ， 为相反向量. (4)错误.由 = ，知| |=| |，且 与 同向，但A与 C，B与D不一定重合.,【常见误区】,【防范措施】 强化概念理解 (1)紧扣向量的两个特征“大小”与“方向”.注意向量与实数的关系，如本例(2)向量不能比较大小. (2)相反向量:两向量方向相反，模相等