数学建模――汽车修理

1、题目：汽车修理摘要这是一个典型的排队论问题。前来送修的各种不同类型汽车，或者说这些车辆的拥有者或驾驶员，可看作是需要接受服务的顾客；服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，可以看作服务台。汽车前来修理是随机的，维修人员为汽车修理的时间也是随机的，这就构成了一个排队系统。首先，本文验证了此系统为一单列多服务台，先到先服务，且系统容纳量和顾客来源都是无限的。根据原始数据的分析，假设顾客流是分布且服务时间满足负指数分布，经分布拟合检验，与原始数据对比，校核了计算的准确性。据此，我们建立了排队模型对问题一，由原始数据表格求得单位时间内顾客到达的平均数以及单位时间内服务顾客的平均数，最后引入服务强度来表示工

2、作台的平均利用率，其结果为。其后，本文又分工作时长、工作台个数以及每个工作台人数对利用率的影响三个方面对结果作了全面具体的分析。对问题二，首先推导出系统状态函数的概率表达式，即任一时刻到来顾客数为时的概率。其中，表示某一时刻顾客数大于服务台数的概率约为0.39，此时后来的顾客都需要等待，即所求的排队候修的可能性。再分别推得等待修理与正在修理的汽车平均水平公式，得出的结果为，表示任意时刻平均有0.67个顾客在等待；，表示任一时刻平均有1.89个顾客在修理。针对此结果，本文进行了全面的分析，提出了10条建议。对问题三，本文建立了一个与服务台成本以及顾客等待费用相关的目标函数，通过试算法和LINGO

3、编程法分别求解，得出的结果表明，若只单独考虑费用最小，配置3个汽车维修工作台是最佳的。对问题四，本文根据概率论与数理统计知识，找到了负指数分布和分布之间的关系，然后根据分布建立了区间估计模型，得到汽车侯修时即可以告知其大致修理完成时间区间为(119.3,159.6)（单位：分钟）。对问题五，分别对注重工作台的平均利用率、注重经济成本、两者并重的情况进行了规划，利用TOPSIS综合评价模型，针对九种不同的方案进行评价，得到了三种改进方案供选择。并提出分时段配置人员以及提高维修人员技能等建议。关键词： 排队论 拟合检验 服务强度 状态函数 LINGO 区间估计 1 问题的叙述汽车修理是一个随机服务

4、系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客， 服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。 对于一个特定的汽车修理点来说，在某一时刻提供服务的顾客数量是有限的, 且在整个服务过程中, 对每一位顾客服务的时间长度也不确定。若在某一时刻, 到达的顾客数量超过了汽车修理点的容量, 顾客就必须排队等候，这种现象几乎是不可避免的，但如果顾客到达后需要排长队, 就会造成顾客流失，有些顾客将不愿长时间等候而另求服务, 这对于汽车修理点来说是一种损失。 因此， 作为汽车修理点的管理者，应根据自身的服务条件人员和设备状况，考虑如何组织好修理生产, 提高服务效率，

5、以缩短顾客排队等候的时间，为尽可能多的顾客服务。 同时，还应考虑如何降低服务成本，提高效益，使整个系统达到最佳运行状态。我们考虑某汽车修理点的数学建模问题。该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为顾客到达服务机构时, 若所有服务台都被占用, 则按先后次序单列排队等候服务。服务规则为先到先服务, 即按到达的先后次序接受服务。附表一为该维修点2008年8月至2009年7月修理小车数量的原始记录资料(统计间隔时间均为一天, 总天数为356天)。附表二为汽车修理服务时间记录表。该维修点有九名维修技术工人、三个工作台, 根据以往经验，每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项:

6、(1)工资300元，(2)餐费30元，(3)房租54元，(4)水电费38元，(5)税收45元， (6)设备折旧费26元，(7)上缴费用100元，(8)设备维修费13元，(9)交通、洗涤、易损工具费等26元。 顾客等待费用的确定比较困难, 它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等, 由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元/台天。问题一：通过计算工作台的利用率并分析结果。问题二：计算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和

7、设备的最佳配置。问题四：作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。能否根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？2 问题的分析根据对顾客流、服务流分布的假设和检验，确定该系统为一单列多服务台，先到先服务，且系统容纳量和顾客来源都是无限的排队模型。用Kendall符号可以表示为。对问题一，由原始数据表格求得单位时间内顾客到达的平均数以及单位时间内服务顾客的平均数，最后引入服务强度来表示工作台的利用率。并分三个方面对结果作了全面具体的分析。对问题二，首先推导出系统状态函数的概率表达式，即任一时刻到来顾客数为时

8、的概率。其中，表示某一时刻顾客数大于服务台数的概率，此时后来的顾客都需要等待，即所求的排队候修的可能性。再分别推得等待修理与正在修理的汽车平均水平公式，得出相应的结果，并对结果进行了全面的分析。对问题三，建立一个与服务台成本以及顾客等待费用相关的目标函数，通过试算法和LINGO编程法分别求解，得出结果。对问题四，根据概率论与数理统计知识，可以找到负指数分布于之间的关系，然后建立区间估计模型，并进行最短区间长度的优化。对问题五，分别对注重工作台的平均利用率、注重经济成本、两者并重的情况进行了规划，得到了三种改进方案供选择。并提出分时段配置人员以及提高维修人员技能等建议。3 符号说明单位时间内顾客

9、到达的平均数单位时间内服务顾客的平均数服务台的总数每个服务台单位时间的成本每个顾客在系统停留单位时间的费用顾客数量时刻服务强度，平均每个服务台的服务强度等待队长服务队长4 模型的假设根据实际情况以及模型简化的需要，我们提出了以下假设：l 假设顾客源是无限的，顾客的到来随机且相互独立。l 假设个服务台的工作相互独立，且服务能力相同。l 假设每个汽车维修工作台配备3名工人。5 模型的建立及求解5.1 问题一模型的建立和求解 5.1.1 排队模型的确立由于该汽车修理店有三个工作台，送修车辆按先后次序单列排队等候服务，故将其定义为单列多服务台型，其服务规则为先到先服务。图 1排队系统示意图下面我们来逐

10、一确定该排队系统的要素及其分布。1. 顾客流泊松分布首先，根据原始数据画出顾客到达人数的频数分布直方图图 2顾客到达频数分布图设随机变量表示在时间内到达顾客数；令表示在时间区间有个顾客到达的概率，即从上图可以看出该分布具有泊松分布的部分特征，又由于该模型中的顾客流符合Poisson分布的三个条件：（1） 无后效性：不相重叠的时间区间内顾客到达数相互独立；（2） ；（3） 。由（2）、（3）得，表示单位时间有1个顾客到达的概率，等价于单位时间内以概率1到达的顾客数。因此我们用泊松分布来表示顾客到达的随机间隔。在长度为的时间内，有个顾客到的概率为：为验证实际分布与假设的合理性，我们采用分布拟合检验

11、中的卡方检验来进行验证。检验是以分布为基础的一种假设检验方法，主要用于分类变量，根据样本数据推断总体的分布与期望分布是否有显著差异，或推断两个分变量是否相关或相互独立。其原假设为：观察频数与期望频数没有差别。检验的基本思想是：首先假设成立，计算出值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据分布，统计量以及自由度可以确定在成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。 如果P很小，说明观察值和理论值偏离程度太大，应当拒绝原假设，表示比较资料之间有显著性差异；否则就不能 拒绝原假设，尚不能认为样本所代表的实际情况与理论假 设有差别。值的计算：由英国统计学家Karl Pearson首次提出，故被称

12、为Pearson 。当n比较大时， 统计量近似服从k-1个自由度的分布。 在自由度固定时，每个值与一个概率值（P 值）相对应，此概率值即为在成立的前提下，出现这样一个样本或偏离假设总体更远的样本的概率。如果P值小于或等于显著性水准，则拒绝 ，接受 ，即观察频数与期望频数不一致。如果P值大于显著性水准，则不拒绝 ，认为观察 频数与期望频数无显著性差异。P 值越小，说明假设正确的可能性越小；P 值越大，说明假设正确的可能性越大。根据此原理，我们借助统计学软件SPSS，可以求得相应的P值。首先，我们进行输入过程，也就是泊松流的分布拟合检验，结果如下：图 3泊松分布卡方检验SPSS结果截图可以看到P的

13、值为0.989，在显著性定为0.95的情况下，明显满足要求，证明了与期望频数的一致性，所以由此证明假设正确。2. 顾客相继到达时间间隔负指数分布当输入过程是Poisson流时，那么顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布，两者等价。证明过程如下：（1） 因为是Poisson过程中第一个顾客到达的时间，所以时间等价于内没有顾客到达。故，进而可得。所以是服从均值为的负指数分布。（2） 利用Poisson过程的独立、平稳增量性质，得即，故也是服从均值为的负指数分布。（3） 对于任意的和有即，所以对任一，它都服从均值为的负指数分布。证毕。进而我们进一步检验顾客服务时间的分布检验，由于假设的为负指数分布

14、，它为连续的分布，而实际中，数据只给出了一些离散点，所以统计的时候只能分区统计，同理可根据负指数分布的分布函数求得每个分区出现的频数。具体检验结果如下：图 4负指数分布卡方检验SPSS结果截图我们可以观察到，这里的P值相对较小，只有0.692，但是考虑到实际服务时间随机性很强，不可能规律性的满足一些规律，再加上顾客服务时间在一般情况都满足负指数分布，所以在这里我们选择接受，假设正确。3. 服务流指数分布图 5服务时间频数分布图假设服务时间满足参数为的指数分布。设单位时间内每个服务台平均服务顾客个，则服务时间服从指数分布：综上，本题中的排队系统用Kendall符号可以表示为。其意义从左至右依次为

15、：顾客流服从泊松分布，服务流服从指数分布，服务台个数为3，服务规则为先到先服务，系统能容纳无限多个顾客，顾客来源是无限的。5.1.2 工作台利用率的推导前面已经假设个服务台的工作相互独立，且服务能力相同，则有整个服务机构的平均服务率为:令，只有当时才不会排成无限的队列。称它为这个系统的服务强度，或服务机构的平均利用率。5.1.3 问题一的求解根据题中所给的原始数据，用EXCEL的AVERAGE函数计算出系统参数为：单位时间内顾客到达的平均数 ；单位时间内服务顾客的平均数由此可得，该汽车修理点工作台的平均利用率为：5.1.4 对问题一结果的分析1. 分析一服务强度也就是平均利用率是刻划系统服务效

16、率和服务机构利用程度的重要标志。当的时候，表明顾客源源不断的到来，而接受完服务离开系统的顾客相对来说较少，致使系统中排队等待的队伍越来越长，这将造成系统极度的拥挤，将会带来不好的效果。在的模型中只有当时，系统才能达到平衡状态，且其值越大,单位时间内到达顾客的平均数与能被服务完的平均数就越接近,顾客等待的时间就越长,服务台空闲的时间就越少,故系统的负荷大。针对此题，当取不同值的时候，利用率有：表 1工作台个数与平均利用率取值平均利用率11.8920.9430.6340.47由上表可分析出，明显当时，顾客长度无限，不符合实际情况；当时，达到利用率1以下的最大值，此种情况利用率最高，但虽说比时的利用

17、率要高，且成本更低，但与此同时顾客等待的概率会变大，等待的队长会增加，而这会降低顾客的满意度，循环效应，便会使效益大大减少。而且在利用率接近一的时候，系统的负荷非常大，员工与工作台基本无休息时间，与此同时增加了员工的不满意度以及工作台的损坏概率，所以综上的时候并不是选择的最佳台数。当的时候虽然利用率较低，但总体来讲系统处于平衡状态，等待的队长也不长，整体来说是一种比较平缓的状态。当的时候，明显利用率下降得多，所以也不符合实际的最佳情况。 2. 分析二从以上的结果可以看出，当每天的工作量控制在国家标准8小时的时候，三个工作台的平均利用率只有百分之六十几。这里暂不考虑工作台个数对利用率的影响，则平

18、均利用率随每天工作时长的减小而增大，见下表：表 2工作时长与平均利用率工作时长（小时）平均利用率60.8470.7280.6390.56100.50这里就显示出了该汽车修理点在工作台利用率方面的配置不是很合理。在后面我们会结合更多因素给出合理的安排。3. 分析三题目中给出了九个维修工人的假设，如果三个工作台的工作内容相同的话自然每个工作台分配三个维修工人。考虑到维修工人的个数是影响工作效率的，这里提出群体规模的概念：工作群体规模应视群体任务的性质而定。任何工作群体都应有其最佳人数，也应有其上限和下限。当人数最佳n时，人均效率最高。在n附近做微小的波动，对人均效率的影响不是很大，但变化的范围超过

19、一定的“度”，则人均效率会大幅下降。应当指出，不同的工作任务、不同的工种、不同的机械化程度以及工作的不同熟练水平等因素，决定着不同的群体应有不同的最佳人数、不同的上限和下限。首先，应根据工作任务的性质研究群体人数的下限，这个下限应保证顺利完成工作任务；其次，应确定群体规模的最适当人数，这个人数能保证群体的工作效率达到最佳程度；最后，群体规模的上限应确定在这样的人数上，即如果超过了这个上限，群体的工作效率会急剧下降。根据实际情况，我们可以考虑每个工作台分别有两个，三个，四个，五个维修工人的情况，认为当只有一人的时候不能顺利完成工作，而超过5人则工作效率急剧下降。而工作效率则用平均服务时间来定，这

20、里为了简化我们考虑每个工作台的工作人数与平均服务时间成线性关系，也就是说在区间范围内，工作人数越多，平均服务时间越短，下面列出有三个工作台，每个工作台分别有两个，三个，四个，五个维修工人的时候所对应的平均利用率：表 3每个工作台的人数与平均利用率每个工作台的人数平均利用率20.4230.6340.8451.05从上表可分析出在不考虑等待时间，不考虑经济成本的情况下，仅仅考虑平均利用率，可发现在每个工作台分配4个人时利用率最高且可达到一种平衡的状态，但是要综合考虑其他因素的话，不一定为最佳结果。综上，考虑到所有影响平均利用率的因素，但仅仅考虑到一种因素，下文将继续研究排队模型的其他因素。5.2

21、问题二模型的建立和求解5.2.1 汽车需排队候修的可能性1. 状态概率的计算汽车需排队候修，等价于同时到来的顾客多于服务台个数。所以需要确定一个状态函数，表示在任一时刻到来顾客数为时的概率，用表示。以下是公式推导过程：表 4状态概率的计算情况在时刻的顾客数在区间在时刻的顾客数到达离去ABCD由表2可得： 整理得： 考虑的情况： 由得到 这是关于的差分方程，表明了个状态间的转移关系，如下图：图 6状态转移关系由（3）得，求解：用递推法解上述差分方程，即可求得：又，可求得2. Erlang等待公式表示的是队列长比服务台个数多的概率，即有顾客需要等待的概率。将数据代入，得。即顾客到达后必须等待的概率

22、。5.2.2 平均队长1. 等待队长平均等待人数，解得，表示任意时刻平均有0.67个顾客在等待。2. 服务队长，表示任一时刻平均有1.89个顾客在修理。5.2.3 问题二的分析与建议1. 分析从问题二的计算可以得出如下结论：（1） 汽车需排队候修的可能性为39.4%；（2） 等待修理的汽车平均水平为0.67辆；（3） 正在修理的汽车平均水平为1.89辆；根据公式：进而得出如下两个结论:（1） 等待修理的平均等待时间为35.7分钟；（2） 正在修理的平均修理时间为100.8分钟；首先分析汽车需排队候修的可能性，根据此题所求出的可能性并不算大，顾客仍有超过一半的可能不需要排队，而等待修理的车辆数小

23、于一，效果较佳，对于维修站来说，一般建设在路边，而路边上由于地方所限无法停靠太多车辆，所以等待修理的汽车平均水平是可以接受的，而对于正在修理的汽车平均水平，此水平小于2，说明任意时刻在工作台修理的车辆数为2辆以内，这也是令人满意的，一是给工作人员提供了休息的机会，二是不至于让工作台负载过大造成损坏，整体比较平衡，对于等待修理的平均等待时间计算结果有些偏长，不能满足所有顾客，会造成顾客的流失，对于正在修理的平均修理时间也偏长，造成正在修理的人等待时间过长，引起不满意度。2. 建议根据以上分析可知，对于等待修理的平均等待时间和正在修理的平均修理时间并不尽如人意，而通过增加工作台的个数可以减少等待修

24、理的平均等待时间，通过增加员工可以减少正在修理的平均修理时间，但是考虑经济问题又不宜多增。总之，以经济角度来讲，应首先满足顾客的要求，增加顾客的满意度，这样表面看起来虽然增加了些许成本，但带来的利益必然会超过它。对于排队问题，我们自然希望顾客每位都不需要排队，但由于顾客到来的随机性，这种情况是不可能实现的，我们只能尽量减少这类情况发生。所以我们的建议是：（1） 适量增加工作台的个数；（2） 适量增加维修工人的人数；（3） 做好维修站的疏通管理工作；（4） 在特殊情况可以考虑分类，给很快就可以修好的一类车一个专用的工作台，由少数人负责，避免“修理10分钟等待2小时”的情况发生；（5） 给等待人员

25、提供休息的小场地，减少由于等待造成的费用；（6） 定期给工作台做检验与维护，保证工作台的良好运作；（7） 给维修人员做专业培训，提高修理熟练度，减少修理时间；（8） 对于损伤重大的车辆，给予重点照顾，可以从其他工作台调度人员；（9） 安排好员工的工作时间，轮流工作，防止员工由于疲劳出现致命错误；（10） 排队人员按号码分配，可以在等待过程中在限定时间内离开；5.3 问题三模型的建立与求解5.3.1 最优规划模型这里是要求一个从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。我们知道，增加维修点就会增加服务台的成本，但同时队长也会相应的降低，顾客等待费用会减少。据此，我们建立了费用最优规划模型

26、。通过试算法和LINGO编程法解出结果，得到结论。模型的数学表达式如下：其中，是服务台个数，是每个服务台单位时间的成本，为每个顾客在系统停留单位时间的费用。是队长，也就是顾客数。是的函数。我们已经假设每个工作台配备3名工作人员，故不用单独考虑人员的数目问题。根据已知数据可以得到=632元/台天，我们取=100元/台天。于是，模型简化为如下形式：5.3.2 试算法 化简后得： 通过试算，可得到满足上述条件的最优的服务台数目 。在前面两问中，我们已经得到，为使1,则会导致顾客源源不断的到来，而接受完服务离开系统的顾客相对来说较少，致使系统中排队等待的队伍越来越长，这将造成系统极度的拥挤，将会带来不

27、好的效果。在本文的模型中，只有才能使系统到达平衡状态。用软件求解之后结果如下：用两种方法的结果吻合，问题三解决。根据此题的结果分析，我们可以得出结论，若只单独考虑费用最小，配置3个汽车维修工作台是最佳的，但是此时的闲置率还是偏高，配置2个工作台会导致等待的顾客数目大大增加，这种情况在实际生活中是应该避免的。综上考虑，配置3个汽车维修工作台是比较合理的。5.4 问题四模型的建立与求解5.4.1 区间估计模型作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。因此要根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。汽车从来到维修点到正式开始进行维修需要经过一个等待时间和服

28、务时间才会离开，而平均等待时间在前面已经得到了量化处理，即：35.7分钟，这个数据可以当成常数。在前面也已经分析过，服务时间服从参数为的负指数分布。根据概率论与数理统计知识，可以找到负指数分布于之间的关系，然后建立区间估计模型，并进行最短区间长度的优化。区间长度越短越好，它代表区间估计的精度。现设简单随机样本来自参数为的指数分布总体，总体的概率密度函数为 其中，未知通过推导我们可以得出服从自由度为的分布。具体的推导过程如下:首先，我们有如下命题成立：若，则证明：随机变量的概率密度和分布函数分别为：随机变量的概率密度和分布函数分别为：显然，当时，对上式两边同时求导得：可见：即：对于给定的置信度置

29、信区间，在本问题中，我们取=0.05，也就相当于置信度为0.95，用书本上的推导方法可求得的置信区间为其中和分别是的上下侧分位点。这里我们将n=100，=0.05代入查表可得到的置信区间为(83.6,123.9)。再加上之前的平均等待时间，我们可以得到汽车侯修时即可以告知其大致修理完成时间区间为(119.3,159.6)。时间的单位是分钟。5.5 问题五5.5.1 改进办法由于我们在问题一中仅仅考虑平均利用率的问题，而在问题三中仅仅考虑费用的问题，都未全面寻找最优解，仅仅是单目标的规划，所以这里我们采用TOPSIS分析法建立几种指标对我们假设的几种方案进行综合评价。Topsis法（Techni

30、que for order preference by similarity to ideal solution）是有限方案多目标决策分析的一种常用方法，可用于效益评价、卫生决策和卫生事业管理等多个领域。本法对资料无特殊要求，使用灵活简便，应用广泛。本法的基本思想是：基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。设有n个评价对象，m个评价指标，原有数据形式为：表 6 原有数据形式表评价对象指标1指标2指标m1x11x12

31、x1m2x21x22x2mnxn1xn2xnm1. 指标属性趋同化处理可将低优指标和中性指标全转化为高优指标，方法是：2. 趋同化数据的归一化 （与前面的归一化方式不同）由此得到归一化处理后的矩阵Z3. 确定最优方案和最劣方案最优方案Z+由Z中每列中的最大值构成：Z+=(maxZi1,maxZi2,maxZim)最劣方案Z-由Z中每列中的最小值构成：Z+=(minZi1,minZi2,minZim)4. 计算每一个评价对象与Z+和Z-的距离D+i和D-i 5. 计算各评价对象与最优方案的接近程度Ci6. 按Ci大小排序，给出评价结果根据本文的实际条件，我们可以调整的量无非有三个：工作台的个数，

32、工作人员的工作时间，工作人员的多少（决定平均服务时间），最后一项由于没有相关数据我们不予考虑，只考虑工作台的数量为2,3,4的时候的情况，以及工作时间为8,9,10的情况（其中超过8小时的按3倍工资计算），由此我们产生九种方案。然后，我们考虑指标的问题，这里我们考虑了三项反映其优劣程度的指标：X1为平均利用率，X2为成本费用，X3为等待队长，其中：注：其中t为超过8小时的额外工作时间由以上3式可以确定出原始数据矩阵:表 7 原始数据矩阵工作台个数工作时间X1X2X3280.943023.915.71290.843098.94.032100.753173.91.93380.632151.90.6

33、7390.562264.40.393100.502376.90.24480.472722.80.08490.422872.80.074100.383022.80.05进行指标属性趋同化处理后为：表 8 处理后的矩阵工作台个数工作时间X1X2X3280.940.0.290.840.0.2100.750.0.380.630.1.390.560.2.3100.500.4.480.470.12.5490.420.14.4100.380.20此时，初始数据矩阵建立完毕，我们需要给三个指标赋权值来给维修站做出几种方案，我们选取不同的权值通过matlab来计算：选取权值分别为0.8,0.1,0.1，求得结果

34、如下：选取权值分别为0.6,0.2,0.2，求得结果如下：选取权值分别为0.33,0.33,0.33，求得结果如下：选取权值分别为0.2,0.6,0.2，求得结果如下：选取权值分别为0.1,0.8,0.1，求得结果如下：选取权值分别为0.2,0.2,0.6，求得结果如下：选取权值分别为0.1,0.1,0.8，求得结果如下：综上可得出每项权值对应的方案为：表 9 不同权对应的方案X1权值X2权值X3权值方案工作台个数工作时间0.80.10.1280.60.20.2280.330.330.334100.20.60.24100.10.80.1380.20.20.64100.10.10.8410由上表

35、可得出结论：l 方案一：注重工作台的平均利用率，选择的方案为:工作台2个，工作时间8小时；l 方案二：注重经济成本，选择的方案为：工作台3个，工作时间8小时；l 方案三：无论想各方面都同等重要还是更注重等待时间也就是顾客的满意度，选择的方案为：工作台4个，工作时间10小时；5.5.2 管理建议1. 分时刻管理。题中所给的顾客流原始数据是按天为最小单位的，但现实生活中每天不同时间段的客流量是不一样的，如果在客流量较小的时段同时开放所有服务台，必然会造成资源的浪费，导致服务强度降低。同样，在客流量较高的固定几个时段如果仍然保持正常的服务容量，顾客的满意率与修理点的收益都会受到影响。因此，调查取得每

36、天不同时段的客流量，并考虑特殊因素（天气、节日等），设置12个机动的服务台，再相应地安排维修人员，会使收益得到一定程度的提高。2. 提高维修人员的技术企业可以加强对录入人员工作能力的要求，或者组织维修人员进行相关技能培训，把另外聘请员工的资本转移到提高已有工人水平上来，磨刀不误砍柴工。当顾客平均接受服务的时间降低了，维修点的服务效率也就提高了，顾客满意度随之上升，成本只是一次性投资，但是带来的收益却是长久的。6 模型的评价6.1 模型的优点本文基于经典的排队理论，提取题目中的相关参数，步步检验，尽量做到与实际情况相符，从而使提出的建议具有实际可行的意义。另外，在对问题结果的分析过程中，本文考虑

37、得较为周全与细致。6.2 模型的缺点从第一问顾客相继到达时间间隔的分布检验中我们可以看出，由于假设的为负指数分布，它为连续的分布，而实际中，数据只给出了一些离散点，其拟合检验结果吻合度只有0.692，与实际有一定的距离。其次，本文对每天工作时长以及每个顾客在系统停留单位时间费用的估计方面缺少实际调查，结果有一定的片面性。7 参考文献1 贺福利，排队论及其在数学建模中的应用。2 夏乐天等，指数分布参数置信区间的最短化研究，河海大学学报，第31卷第3期：355356，2003年5月。3 蔡金凤，基于排队论的大型超市服务台数的最优设计。8 附录附表一2008年8月2009年7月汽车修理数量统计表 单

38、位: (辆)年月日2008年2009年8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月7月18741212513915116132911810169161310631031535811714781213741099881171157812591065681381210108614671179859897778815108109697118610181391011681241099101011899759861011511811108107867111386513961513109512812141113119119815121310139710131078989141175671288108

39、1011151210895812561497167471441271076126178961081010101137121810141010616121494119196910991011103954201056611176212785214897142099412119225111249175671612152386137713109115711241191238131146696257611968810107826128111257674582797769212147111128611881241191310142951277107871493010151097138115683179913121110统计天数313031303126283130313031附表二汽车修理服务时间记录表编号服务时间(分)编号服务时间(分)编号服务时间(分)编号服务时间(分)编号服务时间(分)11802114641251611258135234022105428462120825834023273432