【备战2013】高考数学 专题辅导与训练 1.5《导数的简单应用》课件 理 新人教版

1、热点考向1 利用导数解决曲线的切线问题 【例1】(12分)(2011重庆高考)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,bR. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程； (2)设g(x)=f(x)e-x，求函数g(x)的极值.,【解题指导】根据导数的定义可求出实数a,b的值，从而求出函数的解析式，再求出曲线在(1,f(1)处的切线方程.把函数f(x)的导数代入g(x),再对函数g(x)求导，即可求出极值.,【规范解答】(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+1，故f(x)=3x2+2ax+b. 1分 令x=1,得f(1)=3

2、+2a+b，由已知f(1)=2a,因此3+2a+b=2a，解得b=-3. 2分 又令x=2,得f(2)=12+4a+b，由已知f(2)=-b，因此12+4a+b=-b, 解得a=- 3分,因此f(x)=x3- x2-3x+1，从而f(1)=- 又因为f(1)=2(- )=-3,故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处 的切线方程为y-(- )=-3(x-1),即6x+2y-1=0. 5分,(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x, 从而有g(x)=(-3x2+9x)e-x. 6分 令g(x)=0，得-3x2+9x=0,解得x1=0,x2=3. 7分 当x(-,0)时，g(x)0，故g

3、(x)在(-,0)上为减 函数；8分 当x(0,3)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数； 9分,当x(3,+)时，g(x)0，故g(x)在(3,+)上为减 函数；10分 从而函数g(x)在x1=0处取得极小值g(0)=-3,在x2=3处取得 极大值g(3)=15e-3. 12分,求曲线过点P的切线方程的方法： (1)判断点P是否在曲线上； (2)如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x=x0. (3)函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.利用导数求曲线的切线方程，分两

4、步：,求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率； 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,1.求过定点的曲线的切线方程时，要分清定点与曲线的位置关系. 2.当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解.,已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12，和直线m:y=kx+9,又f(-1)=0, (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是y=g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由； (3)如果对于所有x-

5、2的x，都有f(x)kx+9g(x)成立，求k的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3ax2+6x-6a，因为f(-1)=0所以a=-2. (2)存在k的值满足条件理由如下： 因为直线m恒过点(0，9). 先求直线m:是y=g(x)的切线.设切点为(x0,3x02+6x0+12)，因为g(x0)=6x0+6. 所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，将点(0，9)代入得x0=1.,当x0=-1时，切线方程为y=9;当x0=1时，切线方程为y=12x+9. 由f(x)=0得-6x2+6x+12=0，即有x=-1或x=2. 当x=-1时，y=f(x)的切线方程为：

6、y=-18；当x=2时，y=f(x)的切线方程为y=9， y=9是公切线.又由f(x)=12得-6x2+6x+12=12,x=0或x=1, 当x=0时y=f(x)的切线为y=12x-11； 当x=1时y=f(x)的切线为y=12x-10， y=12x+9不是公切线，综上所述k=0时，y=9是两曲线的公切线.,(3)由kx+9g(x)得kx3x2+6x+3,当x=0时，不等式恒成立，kR； 当-2x0时，不等式为k3(x+ )+6, 3(x+ )+612，k12； 当x-2时，kx+9g(x)恒成立，则0k12.,由f(x)kx+9得kx+9-2x3+3x2+12x-11， 当x=0时，9-11

7、恒成立，kR；当-2x0时，有 k-2x2+3x+12- 设h(x)=-2x2+3x+12- =-2(x- )2+ 当-2x 0时，-2(x- )2+ 为增函数，- 也为增函数，h(x)h(-2)=8. 要使f(x)kx+9在-2x0上恒成立，则k8.,由上述过程得只要考虑0k8，则当x0时，f(x)=-6x2 +6x+12=-6(x+1)(x-2)， 当x(0,2时，f(x)0,当x(2，+)时，f(x)0,k0时,kx+99,f(x)kx+9一定成立，综上所述0k8.,热点考向2 利用导数解决函数的单调性等问题 【例2】(12分)(2011北京高考)已知函数f(x)= (1)求f(x)的单

8、调区间； (2)若对于任意的x(0，+)，都有f(x) 求k的取值范围. 【解题指导】求导后，分k0与k0两种情况进行分类讨论.,【规范解答】(1)f(x)= 令f(x)=0， 得x=k. 2分 当k0时，f(x)与f(x)的情况如下： 所以f(x)的单调递增区间是(-，-k)和(k，+);单调递 减区间是(-k，k). 4分,当k0时，f(x)与f(x)的情况如下： 所以f(x)的单调递减区间是(-，k)和(-k，+)；单调递 增区间是(k，-k). 6分,(2)当k0时，因为f(k+1)= 所以不会有对于任意 的x(0，+)，f(x) 7分 当k0时，由(1)知f(x)在(0，+)上的最大

9、值是 f(-k)= 8分 所以对于任意的x(0，+)，f(x) 等价于f(-k) 解得- k0. 10分,故当对于任意的x(0，+)，f(x) 时，k的取值范围 是- 0). 12分,【互动探究】本例中，若把已知函数变为f(x)=(x-k)ex,则第(1)问的答案变为什么？再求此时f(x)在区间0，1上的最小值. 【解析】f(x)=(x-k)ex,f(x)=(x-k+1)ex. 令f(x)=0，得x=k-1,f(x)与f(x)的情况如下：,所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1)；单调递增区间是 (k-1,+). 此时，当k-10,即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间

10、0,1上的最小值为f(0)=-k; 当0k-11,即1k2时，由上述知f(x)在0,k-1上单调递减，在(k-1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1. 当k-11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.,综上,f(x)min=,求可导函数f(x)单调区间的方法： (1)先确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)； (3)求方程f(x)=0在定义域内的所有实数根； (4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，将定义域分成若干个小区间； (

11、5)确定f(x)在各小区间内的符号，由此确定f(x)在每个区间内的单调性.,(1)当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目将它们取并集. (2)当f(x)不含参数时，也可以通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,设函数f(x)=x-ln(x+ ). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若x0时，恒有f(x)ax3，试求实数a的取值范围； (3)令an= (nN*),试证明：a1+a2+a3+an,【解析】(1)函数的定义域为R. 由f(x)=1- 0，且f(x)不恒为0，知 f(x)是R上的增函数. (2)令g(x)=f(x)-ax3=x-ln(x+ )

12、-ax3. 则g(x)= 令h(x)= (1-3ax2)-1. 则h(x)=,当a 时,h(x)0.从而h(x)是0，+)上的减函数，注意到h(0)=0,则x0时，h(x)0，也即g(x)0.进而g(x)是0，+)上的减函数，注意到g(0)=0，则x0时，g(x)0，也即f(x)ax3. 当00,进而 推知，当x0, )时,f(x)ax3. 当a0时，h(x)0，同理可知f(x)ax3. 综上，所求a的取值范围是 ，+).,(3)在(2)中，取a= 则x0, )时，x-ln(x+ ) x3, 即 x3+ln(x+ )x. 令x= 则an= a1+a2+a3+an 即a1+a2+a3+an,热点

13、考向3 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【例3】(12分)(2011江西高考)设f(x)=- x2+2ax. (1)若f(x)在( +)上存在单调递增区间,求a的取值范围; (2)当0a2时,f(x)在1,4内的最小值为- 求f(x)在该区间上的最大值.,【解题指导】(1)要使f(x)在( +)上存在单调递增区 间,需f(x)在( +)上恒大于零,即得a的取值范围.(2)首先求出f(x)在1,4内的最小值为f(4),从而求出a的值,进一步求f(x)在该区间上的最大值为f(2).,【规范解答】(1)由f(x)=-x2+x+2a=-(x- )2+ +2a,1分 当x +)时,f(x)的最大值为

14、f( )= +2a; 3分 令 +2a0,得a- 4分 所以,当a- 时,f(x)在( +)上存在单调递增区间. 5分 a的取值范围是- +).,(2)令f(x)=0,得两根 所以f(x)在(-,x1)和(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单 调递增. 6分 当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值 为f(x2)，又f(4)-f(1)=- +6a0, 即f(4)f(1), 8分,所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a- 9分 得a=1,x2=2, 10分 从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)= 12分,1.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的一般步骤 (1

15、)求导数f(x); (2)求方程f(x)=0的根; (3)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右两边的符号： “左正右负f(x)在这个根处取极大值”； “左负右正f(x)在这个根处取极小值”.,2.求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的一般步骤 (1)求函数y=f(x)在区间a,b内的极值(极大值或极小值)； (2)将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,1.利用导数研究函数的极值和最值时，一般应首先考虑函数的定义域. 2.导数值为0的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.,已知函数f(x)=l

16、nx-ax2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； (2)求函数y=f(x)在a2,a上的最大值.,【解析】(1)f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,函数的定义域为(0,+). f(x)= -2ax+(a-2)= f(x)在x=1处取得极值， 即f(1)=-(2-1)(a+1)=0,a=-1.,(2)a20, f(x)在(0， )上单调递增，在( +)上单调递减， 当0a 时，f(x)在a2,a上单调递增， f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;,当 即 时，f(x)在(a2, )上单调递 增，在( a)上单调递减， f(x)max=f( )=-ln

17、2- -1-ln2; 当 a2，即 a1时，f(x)在a2,a上单调递减， f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.,综上所述，当0a 时，函数y=f(x)在a2,a上的最大值是lna-a3+a2-2a; 当 时，函数y=f(x)在a2,a上的最大值是 当 a1时，函数y=f(x)在a2,a上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.,热点考向4 导数在实际问题中的应用 【例4】(12分)(2011福建高考)某商场销售某种商品的经 验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5

18、元/千克时，每日可售 出该商品11千克.,(1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解题指导】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知函数过点(5,11),将其代入可求得a的值;(2)利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本)销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值.,【规范解答】(1)因为x=5时，y=11，所以 +10=11, 所以a=2. 4分 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y= +10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3) +10(x-

19、6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6. 8分 从而,f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).,于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表,由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点， 也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 12分,利用导数解决生活中的优化问题 (1)在应用题中，如果函数的关系式是三次、更高次或分式，一般可以考虑借助导数求最值. (2)由于实际问题中的自变量有一定的范围限制，所以根据条件写出定义域也

20、是重要的环节，若函数的定义域是一个开区间，通常在开区间中所得的极值点就是所求最值的对应点.,一定要注意求得函数结果的实际意义，对于不符合实际的值应该舍去.,某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售，40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售进行调研，结果如图(1)、(2)所示.其中(1)的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；(2)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.,(1)写出市场的日销售量f(t)与第一批产品A上市时间t的关系式； (2)第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少？,【解析】(1)设f(t)=a(t-2

21、0)2+60,由f(0)=0可知 a=- 即f(t)=- (t-20)2+60 =- t2+6t(0t40,tN) (2)设销售利润为g(t)万元，则,当30t40时，g(t)单调递减；g(30)=2 700, 当0t30时，g(t)=- t2+24t,易知g(t)在(0， )上 单调递增，( 30)上单调递减，而tN，故比较g(26), g(27)，经计算,g(26)=2 839.2g(27)=2 843.1，故第一批 产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润 是2 843.1万元.,分类讨论思想解答含有参数的问题 含参问题主要问题类型： (1)含有参数的不等式的求解； (2)

22、含有参数的方程的求解； (3)含有参数的函数解析式的单调性和最值问题； (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.,求解时应注意的问题： (1)含参问题在求解时要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，在分类时要本着最简原则，做到分类合理、不重不漏. (2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集.,【典例】(12分)(2011陕西高考)设函数f(x)定义在(0, +)上,f(1)=0，导函数f(x)= g(x)=f(x)+f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值 ； (2)讨论g(x)与g( )的大小关系； (3)是否存在x00，使得|g(x)-g(x0)|0成立？ 若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.,【解题指导】(1)先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解，注意利用前两问的结论.,【规范解答】(1)f(x)= f(x)=lnx+c(c为常数)， 又f(