高考数学 数列的通项及数列求和课件 新人教版

1、要点梳理 1.若已知数列an，满足an+1-an=f（n），且f（1）+ f（2）+f（n）可求，则可用 求数列的 通项an. 2.若已知数列an，满足 =f（n），且f(1)f(2) f（n）可求，则可用 求数列的通项an.,6.4 数列的通项及数列求和,累加法,累积法,一、基础知识 自主学习,3.等差数列前n项和Sn= = ， 推导方法： ； 等比数列前n项和 推导方法:乘公比，错位相减法.,Sn=,，,na1,=,q=1, q1.,，,倒序相加法,4.常见数列的前n项和 （1）1+2+3+n= ; （2）2+4+6+2n= ; （3）1+3+5+(2n-1)= ; （4）12+22+32

2、+n2= ; （5）13+23+33+n3= .,n2+n,n2,5.方法归纳: （1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. （2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. （3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. （4）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.,6.常见的拆项公式有,基础自测 1.已知等比数列an,a1=3,且4a1、2a2、a3成等差数 列，则a3+a4+a5等于（ ） A.33B.72C.84D.189 解析 由题意可设公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2, 4a2=4

3、a1+a3,4a1q=4a1+a1q2,又a1=3,q=2. a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2) =34(1+2+4)=84.,C,2.如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（） A. B. C. D. 解析 a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） =an=,C,3.已知数列an的通项公式是an= ，其中前n项和Sn= ，则项数n等于（） A.13 B.10 C.9 D.6 解析 an= Sn=n- =n-1+ 而,D,4.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为（） A.2n

4、+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2 解析 Sn= =2n+1-2+n2.,C,5.数列 的前n项 和为（） A. B. C. D. 解析 由数列通项公式 得前n项和,B,题型一 由递推公式求通项公式 【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式. (1)设an是首项为1的正项数列，且（n+1） +an+1an=0 (n=1,2,3,); (2)已知数列an满足an+1= ,a1=2. 依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商 的规律.,思维启迪,二、题型分类 深度剖析,解（1）方法一 数列an是首项为1的正项数

5、列, anan+10, +1=0, 令 =t,(n+1)t2+t-n=0, (n+1)t-n(t+1)=0, t= 或t=-1（舍去）， 即,方法二 由（n+1） +an+1an=0,得 n( )+an+1(an+1+an)=0, 即（an+1+an）(n+1)an+1-nan=0. an0,an+1+an0,(n+1)an+1-nan=0, 即,（2）将已知递推式化为 将以上（n-1）个式子相加得,探究提高 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加：an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+(a2-a1)+a1;

6、累乘：an= 等方法.,知能迁移1 由已知在数列an中a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式. （1）an+1= ;(2)an+1=2an+2n+1.,解 （1）因为对于一切nN*,an0, 因此由an+1= ，得 即 数列 是等差数列， (n-1)2=2n-1,即an= （2）根据已知条件得 即 数列 是等差数列. 即an=(2n-1)2n-1.,题型二 错位相减法求和 【例2】设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an= nN*. （1）求数列an的通项； （2）设bn= ，求数列bn的前n项和Sn. （1）由已知写出前n-1项之和，两式相减.（2）bn=n3n的特点是数列n与3

7、n之积可用错位相减法. 解 （1）a1+3a2+32a3+3n-1an= 当n2时， a1+3a2+32a3+3n-2an-1= ,思维启迪,-得3n-1an= ,an= 在中，令n=1,得a1= ，适合an= an= (2)bn= ,bn=n3n. Sn=3+232+333+n3n 3Sn=32+233+334+n3n+1. -得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n), 即2Sn=n3n+1-,探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n-1an的前n项和,从而利用an与Sn的关系求出通项3n-1an,进而求得an;另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,

8、这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养.,知能迁移2 (2008全国文，19)在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n. （1）设bn= .证明：数列bn是等差数列； （2）求数列an的前n项和Sn. （1）证明 an+1=2an+2n， bn= ，bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1, 故数列bn是首项为1，公差为1的等差数列.,(2)解 由（1）知,bn=n,an=n2n-1, 则Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1 2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n 两式相减，得 Sn=n2n-120-21-2n-1=n2n-2n+1.,三、课堂小结： （1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. （2）拆项相消：有时把一