2010年福建高考数学文科试卷带详解

1、2010年高考福建数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则等于 ( )A B C D【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】描述法表示集合，直接求两集合的交集.【参考答案】A【试题解析】=,故选A2计算的结果等于 ( )A B C D 【测量目标】二倍角。【考查方式】直接利用2倍角简化式子，根据特殊角函数值得到答案.【参考答案】B【试题解析】原式=,故选B3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D 第3题图【测量目标】直三棱柱的表面积.

2、【考查方式】给出三视图的正视图，通过空间想象，求侧面积.【参考答案】D【试题解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱侧面积为，选D4是虚数单位,等于 ( )Ai B C1 D【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接利用复数的运算法则计算所给的式子.【参考答案】C【试题解析】=,故选C5设x ,y ,且,则的最小值等于 ( )A2 B3 C5 D9【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求最小值.【参考答案】B【试题解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示， 当直线过点（1，1）时，取得最小值3，故选B6阅读右图所示

3、的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 ( )A2 B3 C4 D5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂给出的程序框图，根据框图内计算步骤进行计算得出答案.【参考答案】C.【试题解析】由程序框图可知，该框图的功能是输出使时的的值加1，因为，所以当时，计算到，故输出的是4，选C 7函数的零点个数为 ( )A3 B2 C1 D0【测量目标】函数零点的求解.【考查方式】给出分段函数解析式，根据分类讨论思想求每段函数的零点个数，再求总个数.【参考答案】B【试题解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C8若向量，则“”是“”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条

4、件C充要条件 D既不充分又不必要条件【测量目标】充分，必要条件.【考查方式】通过向量坐标与模长的关系来判断充分必要条件.【参考答案】A.【试题解析】由得，所以；反之，由可得9若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A91.5和91.5 B91.5和92 C91和91.5 D92和92【测量目标】茎叶图u.【考查方式】给出茎叶图直接求出数据的中位数和平均数. 第9题图 【参考答案】A【试题解析】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96

5、）=91.5，故选A10将函数的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于 ( )A4 B6 C8 D12【测量目标】函数的图像及其变换.【考查方式】将函数的通过图象变换，计算出函数的周期，根据周期和的关系求解.【参考答案】B【试题解析】因为将函数的图象向左平移个单位所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得，故选B11若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ( )A2 B3 C6 D8【测量目标】平面向量的坐标运算，函数的对称性和最值.【考查方式】利用向量数量积的坐标运算，二次函数的单调性与最值，根据对知识的综合应用以及运算能力求

6、解.【参考答案】C【试题解析】由题意，F（1，0），设点P，则有,解得，（步骤1）因为，所以=，（步骤2）此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C（步骤4）12设非空集合满足：当时，有给出如下三个命题：若，则；若，则；若，则其中正确命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D3【测量目标】命题正确性的判断.【考查方式】描述法表示集合，根据集合的大小判断命题正确性.【参考答案】D【试题解析】画数轴进行判断.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置13 若双曲线=1(b0)的渐近线方程式为y=，则等于【测量目标

7、】双曲线的几何性质.【考查方式】给出双曲线标准代数方程和准线的方程，利用待定系数法求b.【参考答案】1【试题解析】由题意知，解得b=114 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】画出频率直方图，通过频数，频率，总体的关系和公式求出容量总体.【参考答案】60【试题解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=6015 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段

8、必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 来源:www 第15题图其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）【测量目标】集合的特殊应用.【考查方式】给出图形，要求两点间的线段在图形内，求集合的包含和不包含.【参考答案】.【试题解析】随意找两点，连线在图形中即可，由图知.16. 观察下列等式： cos2a=21; cos4a=8 8+ 1; cos6a=3248+ 181; cos8a=+ 16032+ 1; cos10a= m 1280+ 1120+ n+ p 1可以推测，m n + p = 【测量目标】演绎推理.【考查方式】给出一系列的等式，通过

9、观察类比推理,解出各未知数的具体值之后进行计算.【参考答案】962【试题解析】因为所以；（步骤1）观察可得，（步骤2）所以m n + p =962（步骤3）三、解答题 ：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分 ）数列 中，前n项和满足 （n）( I ) 求数列的通项公式以及前n项和；（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值【测量目标】数列的通项公式与前n项和的关系，数列的综合应用.【考查方式】直接给出首项以及前n与n-1项和的差求通项公式和前n项，计算化简数据并用利用转化思想求t值.【试题解析】解

10、: ( I )由得；（步骤1）又，故（步骤2）从而，（步骤3）（II）由（I）可得（步骤4）从而由成等差数列可得：（步骤5）18（本小题满分12分）设平面向量（m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m，n1,2,3,4（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得（）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率【测量目标】平面向量的基本概念，坐标运算，古典概型.【考查方式】通过列举法得到所有数组，根据必然与或然思想求出基本事件，继而求出基本事件的概率.【试题解析】解：（I）有序数组的所有可能结果为：（步骤1）（II）由（步骤2）即由于故事件A包含的基本事件为（2

11、,1）和（3,4）共2个（步骤3）又基本事件的总数为16，故所求的概率为（步骤4）19（本小题满分12分）已知抛物线C：过点A （1 , 2）（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由【测量目标】抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线中探索问题.【考查方式】给出开口方向确定的抛物线上的点的坐标，直接求抛物线的标准方程和准线方程，再根据数型结合，分类思想以及直线与抛物线相交的代数关系确定直线的存在与否【试题解析】解：（I）将（1，）带入，

12、得，（步骤1）所以p=2，故所求的抛物线C的方程为，其准线方程x=（步骤2）（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为（步骤3）因为直线l 与抛物线C有公共点，所以，记得（步骤4）所以符合题意的直线l存在且其方程为（步骤5）20 （本小题满分12分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH/A1D1过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G（I）证明：AD/平面EFGH；（II）设AB=2，AA1=2a在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D1DCGH内的概率为p当点E，

13、F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值【测量目标】线面平行的判定，立体几何中的探索问题，柱体体积的计算.【考查方式】通过空间想象以及直线与平面间的定理证明，根据几何体的体积公式得出代数关系，依靠均值不等式最值求解.【试题解析】（I）证明：在长方体中，（II） 长方体的体积21(本小题满分12分)某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇

14、航行速度的大小应为多少？来源:wwwshulihuanetwwwshulihuanet()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；Z()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由 【测量目标】利用导数求最值，根据导数解决实际中的问题.【考查方式】抽象概括出情景，列出函数式，找到数据间的运算关系，依靠二次函数最值求解;通过余弦定理的基础知识解答问题;通过题设列出不等式求出行驶速度的取值范围.()设相遇时小船的的航行距离为S海里，则故当时，（步骤1）即小艇以 海里/小时的速度

15、航行，相遇时小艇的航行距离最小()设小艇与轮船在B处相遇。由题意可得：（步骤2）化简得：由于所以当时v取得最小值（步骤3）即小艇航行速度的最小值为海里/小时 ()由()知，设，（步骤4）于是小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：解得 （步骤5）所以v的取值范围是解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶则小艇的航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇在中，此时轮船航行时间 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小22（本小题满分14分） 已知函数f（x）=的图象在点P（0,f (0)）处的切线方程为y=3x2()求实数a,b的值；()设g（x）=f (x)+是上的增函数（i）求实数m的最大值；(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【测量目标】利用导数求函数解析式，函数单调性的综合应用，导数的综合应用.【考查方式】给出函数的代数解析式，通过导数和切线方程的关系求解析式中的未知量；根据导数的正负与函数的单调性的关系以及分类思想解答最值问题；依靠函数的对称性求目标点坐标，从而进行证明.【试题解析】() （步骤1）() （i）由 得 （步骤2）是上的增函数，在上恒成立 即在上恒成立，