广东省惠州市2021届高三第一次调研考试 数学

1、HLLYBQ整理 供“高中试卷网（）”惠州市2021届高三数学第一次调研考试试题全卷满分150分，时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分

2、，选错得0分。1设集合，集合, 则（ ）.A B C D2复数满足，其中为虚数单位，则复数=（ ）.A B C D 3已知，则（ ）.A B C D4已知向量，向量，若，则实数（ ）.A B C D5已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）.A B C D6已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（ ）.A B C D7张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺.A B C

3、 D8函数的部分图象的大致形状是（ ）.A B C D9根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.A B C D10对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）. A BC D二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。11下列选项中正确的是（）A不等式恒成立 B存在实数a，使得不等式成立C若为正实

4、数，则 D若正实数x，y满足，则12在空间中，已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A若，且，则 B若，且，则C若与相交，且，则与相交 D若，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。13函数在点的切线方程为_14二项式的展开式中的系数是_15若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_16已知ABC，ABAC4，BC2，点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分） 已知等差数列的公差，

5、若，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和18（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若，的面积为，求的周长19（本小题满分12分）CEDBAF如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；20（本小题满分12分）已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点 使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21（本小题满分12分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验

6、血液来确定感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望。你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。22（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，求正实数的取值范

7、围.惠州市2021届高三第一次调研考试数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。题号12345678910答案ACABCDBDAB1.【解析】由题意可得，所以，故选A2.【解析】，故选C3.【解析】，故选A4.【解析】由已知得，故选B5.【解析】连接，则，可知是正三角形，故选C6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为，则， ，故选D7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，可得，解之得，故选B8.【解析】由，所以为奇函数，排除A，C；因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，故选D9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有

8、种选法，再将捆绑后的专家分别派到3 个县区，共有种分法，故总共有种派法。 其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为. 故选A10.【解析】 由“局部奇函数”可得： ，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），即或，解得：或（2）若方程有两解，则，解得：，综上所述：，答案B二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错

9、的得0分。11题选项12题选项可得分数全部正确BCDAC5分部分正确B、C、D、BC、BD、CDA、C3分11.【解析】不等式恒成立的条件是，故A不正确；当a为负数时，不等式成立故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确故选：BCD12.【解析】若，且，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确； 若，且，则与互相平行或相交或异面，故B错误；若相交，且，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确； 若，且，则与平行或相交，故D错误；故选：AC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。）13. 14. 280 15. 9 16

10、. （3分），（2分）【注：14题结果写成不扣分】13.【解析】 因此切线方程为.14.【解析】展开式的第项为，故令，即，所以的系数为15.【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9.16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC，由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC，所以SBDCBCBDsinDBC22，F2ACBED因为cosDBCcosABC， 所以CD，由余弦定理，得cosBDC.答案：；法2：如图，作AE垂直BC，作DF垂直BC，由勾股及相似比可得面积。由二倍角公式可得目标角度

11、的余弦值。三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题满分10分）【解析】（1）法1：， .1分，成等比数列，化简得，.2分又因为 .3分【注：无此步骤，本得分点不得分】且由可得，.4分【注：只要算出即可给分】数列的通项公式是 .5分法2：，成等比数列， .1分，化简得， .2分又因为 .3分【注：无此步骤，本得分点不得分】得 .4分数列的通项公式是 .5分（2）由（1）得， .7分 .8分 .9分 所以 .10分18.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：由已知bcosA(2ca)cosB，及正弦定理可得： 2sinCcosBsinBcosAs

12、inAcos B .1分 2sinCcosBsin(AB)， .2分 因为ABC，所以2sinCcosBsinC， .3分因为sinC0， .4分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以cosB. .5分因为0B， .6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以B. .7分法2：由已知bcosA(2ca)cosB，及余弦定理可得：.1分化简得.2分余弦定理可得.3分因为0，.4分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以cosB. .5分因为0B，.6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以B. .7分（2）由SABCacsinB .8分【注：单独写出此步骤，即可得1分】得4c，所以c1. .9分又由余弦定理

13、：，.10分【注：单独写出此步骤，即可得1分】得， .11分故ABC的周长为5. .12分【注：第二问也可过A作BC边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】19.（本小题满分12分）CEDBAFxyz【解析】（1）证明：因为平面，面所以.1分因为是正方形，所以 .2分又, 面，面.3分【注：此步骤未写全3个条件，本得分点不得分】故平面 .4分（2）法1：【向量法】因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.5分因为平面，且与平面所成角为，即，.6分所以由已知，可得 .7分则 所以 .8分设平面的法向量为，则，即令，则 .9分因为平面，所以为平面的法向量， .10分所以 .11

14、分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 .12分NCEDBAFGHMPQ法2：【几何法】如图，G、P分别为线段ED、EB的三等分点，M、N分别为线段EB、DB的中点，MNGP=H，连结FH，AF/NH，且AF=NH，所以FH/AN，且FH= AN所以FH面BDE，过F作FQEB垂足为Q，连结HQ由三垂线定理知，FQH为二面角的平面角。.6分由已知可得，所以 .7分因为平面，且与平面所成角为，即，.8分PHQ为直角三角形，QPH=60，所以，.9分由勾股定理得，得，.10分所以cosFQH.11分所以二面角的余弦值为 .12分20.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：【待定系数法】由题意可

15、得，.1分又因为点在椭圆上得 .2分联立解得，. .3分所以椭圆的方程为.4分 法2：【定义法】设另一个焦点为，则为直角三角形，由勾股定理得，.1分所以，即，.2分由得 .3分所以椭圆的方程为 .4分 （2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，整理得. .5分 由设，定点 (且则由韦达定理可得，. .6分直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 所以，即得. .7分又，得，所以，整理得. .8分从而可得， 即， .9分所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. .10分特别地，当直线为轴时，也符合题意. .11分综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.12分21.（

16、本小题满分12分）【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，1分抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，2分所以抽到感染者的概率 3分（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5， 4分， ， ， ，【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】分布列如下：123455分【注：无列表不给分】所以 6分（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组。如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ，7分分布列如下：23 8分如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ，9分分布列如下：23 10分【参考回答1】：

17、因为， 11分所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可。12分【参考回答2】：因为，按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少， 11分所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好。12分【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则（如回答1）及加分原则（如回答2）。22. （本小题满分12分）【解析】（1）因为，则函数定义域为，1分若，则，在单调递减；2分若，则，单调递增， 3分4分【注：无列表不得分】极小所以当时，的极小值为，无极大值；5分（2）法1： ，则， 6分由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，所以，所以， 7分令， 8分令 ， 恒成立，所以 所以恒成