周期信号的傅里叶级数表示.ppt

1、FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS,第3章 周期信号的傅里叶级数表示,本章内容：,. 周期信号的频域分析,. LTI系统的频域分析,. 傅立叶级数的性质,3.0 引言 Introduction,时域分析方法的基础： 信号在时域的分解。 LTI系统满足线性、时不变性。,上一章选用单位脉冲/单位冲激函数作为基本信号，得到 ，本章用复指数信号作为基本信号，LTI系统对复指数信号的响应也具有一种特别简单的形式。,傅里叶分析方法在数学、自然科学和工程界有着广泛的应用。它本身就是在热学研究中发现的。,1768年3月21日生于法国欧塞尔。9岁父

2、母双亡，由教堂收养。12岁被送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。1830年5月16日逝于巴黎。,傅里叶生平,17681830,3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）,1748年欧拉研究振动弦时，认为振荡模式均为正弦函数，并成谐波关系。 1759年拉格朗日明确批评利用三角级数研究振动弦的主张，认

3、为不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。 1807年傅立叶向巴黎科学院递交“热的传播”论文，认为“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”，拉格朗日反对发表。 直到1822年，才以另外的形式出现在著作“热的分析理论” 1829年狄里赫利给出精确的收敛条件。 1965年，快速傅立叶变换被引入。,傅里叶的两个最重要的贡献,“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”傅里叶的第二个主要论点,由时域分析方法有，,特征函数 (Eigenfunction)与特征值(Eigenvalue),如果系统对某一信号的响应只不过是

4、该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。,复指数函数 、 是一切LTI系统的特征函数。 、 分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。,如果一个LTI系统的输入能表示成复指数的线性组合，则系统输出也能表示成相同复指数的线性组合。例如,对时域的任何一个信号 或者 ,若能将其表示为下列形式：,利用系统的齐次性与叠加性,即：,*问题：究竟什么样的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？ S,z为任意复数,在傅立叶分析中,取s=j, z=ej,成谐波关系的复指数信号集: ，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合中所

5、有的信号都是彼此独立的。,Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals,3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示,一. 连续时间傅里叶级数,如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，得,显然 也是以 为周期的。该级数就是傅里叶级数， 称为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。,二.频谱（Spectral）的概念,信号的某种特征量随频率变化的关系，称为信号的频谱。 频谱图是该特征量随频率的分布，包括幅度谱和相位谱。 知道了信号的幅度

6、谱和相位谱，也就知道了信号的傅立叶级数表示。因此，研究信号的频谱就等于研究信号本身。这种表示信号的方法称为频域表示法。,的频谱为,因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数 时，就可以将 表示为,频谱为,例 周期信号,基波角频率w0，画出它的幅度谱和相位谱,解：首先将x(t)改写成Fourier级数的复指数形式，,相位谱 奇函数,幅度谱 偶函数,三.傅里叶级数的三角函数形式,即：,傅里叶级数的三角函数表示式,对于三角形式，k0，频谱为单边谱。,四.连续时间傅里叶级数系数的确定,对两边同时在一个周期内积分，有,即,在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求。,代表信号在一

7、个周期的平均值，通常称直流分量。,五.周期性矩形脉冲信号的频谱,其中,称为占空比,根据 可绘出 的频谱图。设T=8T1，画图。,周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性,不变 时,如果周期T无限增长(这时就成为非周期信号)，那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。,3.4 连续时间傅里叶级数的收敛条件,问题：满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数？实质上是傅里叶级数收敛问题。,Convergence of the Fourier series,数学理论表明：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。,傅里叶级

8、数收敛的两层含义： 是否存在? 级数是否收敛于 ?,两组条件： 1.平方可积条件： 如果 则 必存在。 在一个周期内能量有限， 一定存在。,可去不连续点,跳跃不连续点,第二类不连续点,这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。,几个不满足Dirichlet条件的信号,三.Gibbs现象,问题：满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于 ?,用Fourier级数去重构方波信号，观察下面的波形,(1) 低次谐波振幅较大，

9、组成方波的主体，而高次谐波振幅较小，影响波形的细节。高次谐波愈多，波形的边缘愈陡峭。,规律：,(2) 谐波分量愈多，在连续点处愈接近于原方波信号；,(3)当谐波次数越高，所合成波形的超量(峰起)越靠近x(t)的间断点，且该峰起值趋于一个常数，约等于跳变值的9，并从间断点开始以振荡的形式逐渐衰减下去，此即Gibbs现象。,用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和峰起。峰起的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。当项数无穷时，其能量趋于0，从而傅里叶级数以均方差最小逼近原周期信号,Gibbs现

10、象表明：,Properties of Continuous-Time Fourier Series,3.5 连续时间傅里叶级数的性质,学习这些性质，有助于对概念的理解，简化计算。,一. 线性：,二.时移:,三.反转:,表明：奇信号的 是关于 的奇函数。,表明：偶信号的 是关于 的偶函数。,当 时，有,当 时，有,五. 相乘:,也即,六.共轭对称性:,由此可推得，对实信号有： 或,又，偶信号， ，,（ak为实偶函数）,奇信号， ，,（ ak为虚奇函数）,故实偶信号x(t),故实奇信号x(t),七.Parseval 定理：,表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和。,令,则,

11、例1：,-T,1,T,0,例2：周期性矩形脉冲,将其微分后，可利用例1表示为,根据时移特性，有,由例1知,Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals,一.离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier Series,3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示,考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个序列都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的。,这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS）， 其中 也称为周期信号 的频谱。,二.离散时间傅里叶级数的系数,三.周期性方波序列的

12、频谱,时,显然 的包络具有 的形状。,周期性方波序列的频谱,周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。,三. DFS的收敛,DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。,3.8 傅里叶级数与LTI系统,Fourier Series and LTI Systems,LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。,对连续时间系统,对离散时间系统,、 被称为系统的系统函数。,对 而言，是以 为周期的。,如果一个LTI系统输入周期性信号 或,则,* 可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权。,则,例：某离散时间LTI系统， 输入为 ，求输出 。,即：,由,得,将 代入微分方程得到系统的频率响应为,例：求下面微分方程描述的LTI系统的频率响应,解：已知,则,3.9 滤波( Filtering),这部分自学。第6章还会深入讨论滤波器问题。,3.12 小结 Summary,本章主要讨论了： 复指数函数是一切L