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1、1,1.3 随机变量的数字特征,一、数学期望与方差 二、协方差与协方差,2,若当级数 绝对收敛时，称 为随机变量X的数学期望，记为E（X），即,1、数学期望的定义,定义 2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则当广义积分 绝对收敛时，称此积分的值为随机变量X的 数学期望，记为 E（X），即,E（X）=,一、数学期望与方差,1、定义1 设离散型随机变量X的分布律为：,3,2、 数学期望的性质：,（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）=E（X）E（Y）,（1）设C是常数，则 E（C）=C 这里C视为 退化的随机变量,（2）设X为一随机变量，C为常数，则有 E（CX）=CE（

2、X）,（3）设X，Y为两个随机变量，则有 E（X+Y）=E（X）+E（Y）,注： (1),4,例2、已知XE(X)，求Y=2X-1的数学期望,解 依题意知，X的概率密度为,于是,进而,3、随机变量函数的数学期望,离散型: X的分布率为: P X=xk =Pk , k=1,2且级数,5,连续型: X的概率密度为f(x) ，若积分,(1)已知随机变量X的分布,求其函数Y=g(X)的期望:,绝对收敛,绝对收敛,6,（2）连续型R.V(X，Y)的概率密度为: f(x,y) 则有,（1）离散型 (X，Y) 的分布律为：,(2)、已知随机变量（X,Y）的分布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望,7,例1.2

3、6 设随机变量,解 依题知，X的概率密度为,故,4、方差的概念,8,D（x）=Var（X）=,5、方差的计算方法：,当X为离散型随机变,当X是连续型随机变量,常用公式:,9,例5：已知XU(a,b)，求E(X)和D(X).,解 由题知，X的概率密度为,于是有,而,6、方差的性质:,10,(1)D(C) 0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等价于PX=C=1. (C为常数),7、常见分布的期望方差:,11,(5)均匀分布:,(1)二点分布:,(2)二项分布:,(3)泊松分布:,(4)正态分布:,E(X)=np D

4、(X)=np(1-p),(6) 指数分布,E(X)=p D(X)=pq,12,例1.29 设XE(t)，YN(0,t2)，(t0)且X与Y相互独立，而Z=2X-3Y+1，试求E(Z)和E(Z2).,解 因XE(t)，YN(0,t2)故,所以,13,注：Cov(X,X)= EX-E（X）X-E（X）=D(X) Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).,二、协方差与相关系数,14,例1.30 设(X,Y)的概率密度为,解 因定理1.2提供的公式，直接有,于是有,15,3、性质：,注: (1)当 较大时,我们通常说X与Y的线性相关程度较好; 当 较小时，我们说X与Y的线性相关程度较差.,(2)XY=0我们也称X与Y不相关.,注：设二维随机变量,则X与Y的相关系数为,16,(4) X与Y的k+l 阶混合中心

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