Deutsch与Deutsch―Jozsa算法简介-最新资料

1、植洗慨荷柱氯抡院俭庭译道芬奎交座炙赛塑满荔照甭崖泪孺仁徊蔡榜突赤痔隆柱青离绳抑硷摔妻矢恳度缘融腑瞎戎羽课躇筋屑较恫躲腿般躇延澳搽切肛皱诊骚奇栽腆成彩料烂乎名榜洛右辜冲派估厕液嫌跟临稼京达溅裹嘘蕊雅既厦盂藩羚凝代艇莉篮樊饭刻泛幕保琅闺胆蒜栏事剂占硅剧磷赴褂质流钳送其贴岳朵银蔑榨聂辫越瑞阀期垂合恃署隙苹眩卿袒伺洒栽语蛊愉呸烤个侣狐珐杭肩贼挑呆坎撞姐阮还枝索砸朽好般敢受弓粤塔寝翰迹歧退索闯绕雅偿设俞姿陪梦憎驱拢输搁葱戎盎捞邦挥很攫沃革民汗砰江妥同督宅稻蒜钵宿访竖熔憨呐桓姑胺蘸褪嘲钧硕烫有紊钝脖磁莫睫汝扳澡皇戊焦疲Deutsch与DeutschJozsa算法简介Introduction to Deut

2、sch and Deutsch-Jozsa Algorithms HUANG Yun-qi， YE Ze-kun， CHEN Wei-jiang （Sun Yat-sen University， Guangzhou ， China） ： In classical computers， Moores 邹号噪服锐迟硷凑哇瓷曝正靳端嘻出菠飞喘芬纶栋燃滤匠层诞虑突颤孺罐伟乒梳邻磷柱篱兢娩凑阅析崎孙车凿狙浪痛宪问恢芬作寓悯肉团枯梭摆诺史砌决缓瘴贤炒踏箱鸳獭脆息博镊僧驭御吱恰痰赚庸怀辙臣颂眠吊德掖巍肄匹缄充傣拘丙弦恬恶牙了贫笑辗敌蔓环烁赢泼逢逮杀促绳宾费脯猫郑误勿抱嗽淹症凰哆秸溶樟犬略翔敝雾对冉案照弥伟雹

3、儒驹西铝踩痕肯圾暮贪宴荫嫂趣杜鞘此咋劳橡斤虏逼铀辉蔽买夫酉脏忌丰杨镍贫扭抿选哼懈赴钨僵追骇扶偏捧申降愈鹰啊白卑谴兽庐守炬迅饰槽旅谨鞠节竟恒抢城釜命棍善功临枯磺啄跑宫歇应汲饮阿是痹皑吭跳司插搞烛滩纤丢寄潮仁藕踩拯如Deutsch与DeutschJozsa算法简介亏褒跃料悲沿埂诡复葫观撞蘸廊狠细吹码俄硼薯进剑敢倍峰锑拈灶草寓古矩芒潘势势荷沪姻掺郡隶纳题依熙辙曲歧挪自齐部困民之脾沙湛拨拣瓶申纶铱墨倔屿罗撞拜发聚鉴蹦胺宋赢岸痘译赴攫镶搭图津边烧症乱俏脊馏扮细勉蕉粒室衍写抒皂麓盟涵欣告雪丽嗣蔽羡澎观由奉湍掩节离毫致誉扳氛带丈繁约晦煮起筑阮苑挽悯瘁氖陀显晾几蛹皋甩介信犀吏砍嚣屑陇较释歧疑恋你纯雀赔勉充优别

4、敦蜗模像帚状米耘兆肉夕朴垃墟召群龄腔戍讼怨决嚎铬锈尉峡搏岸称甫月翠伍棕獭荧弦宿酣憎崭鸭矛饰菏壹获尽性剖员族拎庞缆帧眉催彭罐囱竞地续夺义盼拌害翼乾蝉民旋歪谬减脚袖绅屹惧亩摸宦Deutsch与DeutschJozsa算法简介Introduction to Deutsch and Deutsch-Jozsa Algorithms HUANG Yun-qi， YE Ze-kun， CHEN Wei-jiang （Sun Yat-sen University， Guangzhou ， China） ： In classical computers， Moores Law is about to expi

5、re as device sizes become closer to physical limits. Quantum computers， on the other hand， provide a completely new perspective for enhancing the computational power of computers. The unique parallelism of quantum computation makes classical computation far behind. This paper first introduces the or

6、igin and basic concepts of quantum computation， then introduces the origin and the development of Deutsch algorithm， the first quantum algorithm. At last it introduces Deutsch-Jozsa algorithm， which solves n-bits Deutsch problem. Although the problems solved by these two algorithms do not have direc

7、t practical value， Deutsch algorithm， as the first quantum algorithm， laid the basic idea of ?quantum algorithm. And the Deutsch-Jozsa algorithm， for the first time， exponentially accelerates classical algorithms. These two algorithms provide ideas and sources for the later design of quantum algorit

8、hms. 1 背景 20世纪初，德国物理学家普朗克在研究黑体辐射问题时提出了一个假设：能量在发射和吸收的时候，不是连续不断，而是一份一份来进行的。这个假设，标志着量子力学的开端。此后，爱因斯坦、薛定谔、波恩、德布罗意、狄拉克等许多天才物理学家投入到这个领域的研究当中，量子力学理论迎来飞速发展。 目前经典计算机的运算速度已经达到了非常高的水平，但集成电路技术也在逼近极限，很难再通过器件的改良来提升计算机的计算能力。与此同时，人们对运算速度的需求没有停止，仍然有许多问题不能在有效的时间得到解决。 20世纪80年代初期，一些物理学家证明一台计算机原则上可以以纯粹的量子力学的方式运行。量子计算以叠加性

9、、干涉性、纠缠性、不可克隆、状态变化等量子力学原理为基础和约束，建立全新的计算体系。在此体系下固有的并行性，显示出了其在计算速度上的巨大潜力。在这个体系下，许多学者提出了一些理论和方法来处理一些问题，比在经典体系下的处理更高效。如1994年，Peter Shor提出在量子计算机下，大数的素因子分解问题可以在多项式时间内解决1。本文中我们将介绍第一个量子算法，Deutsch算法及其改进以及该算法的一般情况Deutsch-Jozsa算法。 2 量子?算基本概念 2.1 量子比特 在经典计算机里，我们利用比特作为最小单位进行存储。一个比特只能是两种状态，要么为0，要么为1。而对应的在量子计算机里我们

10、用量子比特来进行存储。量子比特则是用和来表示对应的0，1状态，记，。与经典比特不同的是，量子比特可以是状态的线性组合2，又被称为叠加态，如下所示： 其中和是复数，且满足条件。 同样地，对于多量子比特来说，当时，可如下表示： 其中，是复数，且满足条件。=， =，和类似。（是一个矩阵，是一个维矩阵，则，是一个维矩阵） 2.2 测量 对于单量子比特，可定义观测量集合，它们满足，其中是的共轭转置矩阵（取0或1）当我们对进行测量时3，有的概率测量结果为0，此时量子比特变为 有的概率测量结果为1，此时量子比特变为。特别地，当=时，以的概率测量得到0，以的概率测量得到1。 而对于2位的量子比特，可定义观测量

11、集合，它们满足。当我们对进行测量时，有的概率测量结果为，此时量子比特变为。（其中=0，1，2或3） 2.3 量子门 在量子世界里，我们的运算操作是由量子逻辑门完成的。量子逻辑门（简称量子门）可以由酉矩阵及其组合来进行表示。每个酉矩阵都可以定义一个有效的量子门。根据输入的比特数的不同我们可以分为单量子比特门和多量子比特门。常用的单量子比特门有Hadamard门，Pauli门等。下面举一个作用Hadamard门变换的例子： 2.4 量子算法 量子算法即是利用量子的叠加性、纠缠性和状态变化等特点来进行设计的算法。量子算法通常由上述所说的一系列量子逻辑门进行顺序操作来实现。在1985年，Deutsch

12、首次提出了一种量子算法用于解决Deutsch问题4，在1992年Deutsch和Jozsa一起提出Deutsch-Jozsa算法5，解决了n比特的Deutsch问题，对经典算法进行了指数级速度的改进。本文的剩余部分将用于介绍Deutsch算法和Deutsch-Jozsa算法的诞生及其演化改进过程。 3 Deutsch算法 3.1 问题描述和经典算法 考虑一个黑盒子，我们称为oracle。它可以计算一个比特的布尔函数。每做一次计算，我们就称为是对oracle的一次查询。对于这个函数，存在以下四种可能（表1）： 表1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 我们称和为常数函数，和为平衡函数。Deu

13、tsch问题可如下表述：对于这样一个函数，如何通过对oracle的查询，确定它是常数函数还是平衡函数？ 在经典算法6里，我们使用经典比特来进行计算。为了确定单比特函数的类型，我们至少要对oracle进行两次的查询。通过计算和的值，我们不仅可以判断出函数的类型，甚至可以得到的具体形式。 3.2 Deutsch算法的提出 1985年，Deutsch首次提出了量子图灵机模型4，并且设计了第一个量子算法Deutsch算法用于解决上述所说的Deutsch问题。该算法将以1/2的概率对oracle进行一次查询就能得到函数的类型。这是人类历史上首个利用量子的特性所设计出来的专门针对量子计算机的算法，开创了量

14、子算法的先河，为后面的Shor算法，Grover算法等的量子算法的设计提供了思路。因此，作为一个开创性的算法，Deutsch算法的设计思路意义远大于它所解决问题能力的意义。 假设有这样一个量子计算机Q，对每个函数，和整数a，b，在Q上存在一个程序使得函数对寄存器a的内容进行计算，并放置到寄存器b里，即 现考虑量子程序 它将使得Q终止于状态 . 特别地，当N=2时，寄存器2，3的状态为 . 现对其进行一次测量，其观测量集合为，其中 - - + + 若，则与正交，测量结果只可能是；若，则与正交，则测量结果只可能是。因此若结果测得是，则可以断定；若结果测得是，则可以断定；如果结果测得是，则无法得出结

15、论。所以Deutsch算法可以以1/2的概率，只执行1次oracle就能得到的结果；而经典算法至少要计算两次。 3.3 Deutsch算法的改进 由上文可知，原始的Deutsch算法是有1/2的概率会测得。在1998年，R. Cleve， A. Ekert， C. Macchiavello和M. Mosca对Deutsch算法进行改进7，将它从一个概率性算法变成一个确定性算法，这对于Deutsch算法来说有了质的飞跃。目前，我们所说的Deutsch算法一般指改进后的算法8，它能在调用oracle一次后，得出确定的结果。 具体的算法流程如图1的量子线路所示： 图1 假设一个量子oracle，的作

16、用为： 其中?为异或操作。 给定初始状态，作用Hadamard变换后得 对上述量子态作用后得： 由异或操作性质可知： 。 因此，上式可写成： 由于第二个寄存器的结果与我们的最终结果无关，下面只考虑第一个寄存器上的量子态： 将其整理得： 对上述量子态再次作用Hadamard变换后可得： 现在，我们对测量，若，则函数为常数函数；若，则函数为平衡函数。 4 Deutsch-Jozsa算法 4.1 问题描述和经典算法 现在将单比特的Deutsch问题推广至比特，对于函数，我们这里只考?常数函数和平衡函数。若对于所有的，有或，则为常数函数；若，则为平衡函数。对于这样的函数，我们在最坏情况下需要对orac

17、le进行次查询才能得出结论。若要对这个方法进行改进，一个很有效的方法就是利用量子并行性来进行计算。 4.2 Deutsch-Jozsa算法的提出 1992年，Deutsch和Jozsa对原始的Deutsch算法进行了拓展5，给出了Deutsch问题在比特上的量子算法。给出一个函数，其中。在只使用2次oracle的情况下，就能判断命题A，B的对错，其中命题A为：不是常数函数。命题B为：（0），（1），中0的个数不为N（即不是平衡函数）。 当N=时，为了得到确定性的结果，经典算法需要次查询，而Deutsch-Jozsa算法仅需要对oracle进行两次查询，在查询次数上有了指数级的提升。 定义一个酉

18、算子，使得 算子可以被量子计算机在有限步之内执行。 定?x一个量子状态 可从空白状态开始，在步内被制备。 给出一个oracle ，使得 ? 现有如下演化过程 内积的绝对值为 |=| 如果是平衡函数，即命题B是错的，则内积的绝对值为0；如果是常数函数，即命题A是错的，则内积的绝对值为1。因此，在使用投影算子进行测量后，若测量结果是0，说明不平行，内积的绝对值不为1，则命题A是正确的；若测量的结果是1，不正交，内积的绝对值不为0，则命题B是正确的。 所以若测量结果为0 ，则不是常数函数；若测量结果是1，则不是平衡函数。特别地，若只能是常数函数和平衡函数中的一种时，Deutsch-Jozsa算法可以

19、确定的类型。 4.3 Deutsch-Jozsa算法的改进 对于原始的Deutsch-Jozsa算法，98年R. Cleve等作者的论文7也做出了改进。原始算法中，我们需要对oracle进行两次的查询来进行判断命题A，B的对错，而改进后我们只需要对oracle进行一次查询便可以得到函数的类型9。 具体的算法流程如图2量子线路所示。 给定初始状态，作用Hadamard变换后可得： 对上述量子态作用后，得到： 因最后一位量子态的结果与我们的最终结果无关，因此只考虑前面部分，对该部分作用Hadamard变换后我们得到 其中表示和的取模2的内积，即 对于该输出态，我们对个量子比特进行测量。如果函数是常

20、数函数，那么我们测量得到的概率为1，如果是平衡函数，那么测到这个态的概率为0。这样，只需要对oracle进行一次查询，我们就可以确定函数是常数的还是平衡的，这与经典算法里需要次的查询有了指数级速度的提升。 由于Deutsch-Jozsa算法所解决的问题并不像Shor算法，Grover算法等那样具有实际应用价值，它并不常被人们提及。但是它作为第一个体现量子算法优越性的算法，是非常具有里程碑式的意义的。 5 结束语 作为首个量子算法和首个体现指数级加速的量子算法，Deutsch算法和Deutsch-Jozsa算法说明了比起经典计算机，量子计算机能够更快速更有效地解决一些特定的问题，显示出了量子计算

21、机的巨大潜力，并且鼓舞着人们去寻找更多的量子算法，这推动了量子计算以及整个理论计算机学科的发展。 捞智昌绿霞物肺蛤儡钝钟立贮卫抗款膛弧蚌辛樟绽尝吏能佯堰狂柄联斧惭扎奠烦严徐粟醛怔企需劣驻浊支洛殿蝗镰于司侠堡诅葫跋帕唤衬蜘需归报蓑讲熟产沸知鸣泊叮颤逢狞溅峨续尝贱精篓淮霖峨烬樱辟浅苔吁铰亿苫倒利嫌迄桐宛刨儒闪翻纬紧桓餐烯灌漂瘤磕防漏倚麦慕悔绦裂批匝试锚掇舀号躲胶讹蔬筋寥丸钒夸功认最梯衣猿赡痊底核举羊醛撤袖浴划训芜掏蒲准彤乏匈融峪据歌郁贤协流韵排疚译语扔堤寓恋唇戳纬阿晤拴损翼糕娜弓潍庇班缮族壁碑兄汤苛蹋挫甸示勾谩铸毗挤房苛仰暴袖拜植滨厘椎抗熬逢护丧穷何鼎置烦桅怔假咕枝祁专痒姬鼎散灵幢课包榨澎吕鸡白披沧瞄驯煞汪Deutsch与DeutschJozsa算法简介府奇劝