数学问题杂谈 (8).ppt

1、数学问题解决教学,一、数学问题解决的教育含义,1、这是社会发展的需要 信息社会的来临要求人们学会学习、学会创新、学会合作、学会适应。数学教育必须努力提高学生应用数学知识去解决实际问题的能力。,2、这是数学观现代演变的需要。 20世纪50年代以来，动态的数学观认为：数学是人类的一种创造性活动，在日常教学的数学活动中，解决问题无疑是最基本的形式和最核心的内容，因此，“问题解决”也接成为数学观转变的直接产物。,3、这也是数学教育研究深入的必然结果。 学数学应是“做数学”，即应当让学生通过问题解决来学习数学，这就为问题解决作为数学 教育的中心提供了理论依据。,二、什么是“数学问题解决” 对于数学问题解

2、决，摘于不同的文件，出于不同的学科，源于不同的维度，提法很多。,第一，美国的贝格（Begle）教授认为“学习怎样解决问题是学习数学的目的”，这是把数学问题解决作为一种学习目的的观点。,第二，国教育咨询委员会（NACOME）认为问题解决是一种数学基本技能，这是把数学问题解决作为一种技能的观点。,第三，科克罗夫特等认为，“应当在教学形式中增加讨论、研究、问题解决和探索等形式”，这是把数学问题解决作为一种教学形式的观点。,第四，美国全国数学管理者大会（MCSM）把问题解决定义为“把先前获得的知识用于心新的、不熟悉的过程”，这是把数学问题解决作为一种过程的观点。,第五，在数学学习心理学中，问题解决是一

3、系列有目的指向的认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。这是把数学问题解决理解为一种操作过程或心理过程。,数学问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。,在这个定义里面对问题作了描述： （1）对学生来说不是常规的，不能靠简单模仿来解决；,（2）可以是一种情境，其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释；,（3）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；,（4）不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答； （5）解决它往往需伴以个人或小组的数学活动。,三、数学问题解

4、决的认知分析 （一）奥苏贝尔的问题解决模式 现代认知心理学家认为，问题解决是一种以目标为定向的搜寻问题空间的认知过程。奥苏贝尔等人以几何问题的解决为原型，提出了一个问题解决模式,根据奥苏贝尔的模式，问题解决经历了四个阶段： 1、呈现问题情境命题 奥苏贝尔认为问题是由有意义的言语命题构成的，其中包含了目标和已知条件。,2、明确问题目标和已知条件 学生将问题情境与自己的认知结构联系起来，从而理解所面临问题的性质与条件。这样既明确了问题的初始状态，又明确了解题的目标。,3、填补空隙过程 学生在找出已知条件和目标之间的空隙和差距之后，便利用背景命题，根据一定的推理规则和解题策略填补问题的固有空隙。,4

5、、解答之后的检验 问题一旦得到解决，通常便会出现一定形式的检验：查明推理时有无错误，空隙填补的途径是否最简，问题是否可以进一步推广、拓展，等等。,设 ，式中变量 、y 满足下列条件 ， 求z的最大值和最小值。,第一，明确问题目标和已知条件 首先学生一看到这个题就能判断出这是一道线性规划的题。并知道什么是已知条件，什么是要求的,第二，填补空隙 再仔细观察此题的难点是目标函数不是熟悉的形式。这道题应该怎么做呢？,回忆老师讲线性规划时一直强调的一定要明确目标函数的意义。联想以前学过的知识，就发现目标函数跟两点 （ ），（ ）所在 直线的斜率 很像。,一比较发现 表示是点（x,y）和点（0，0）所在直

6、线的斜率。那么点（x,y）表示的是什么呢，表示的是可行域上的点。分析到这里此题也就解决了。,第三，解答之后的检验 “这个问题是否可以推广呢”。实际上，这道题的方法是可以推广的。比如当以后我们看到形如 这样的目标函数时我们也知道怎么做了。因为这个目标函数表示的是圆的半径，圆心在原点,（二）波利亚（G.Polya）的解题框架 在怎样解题这部不朽名著中，波利亚对问题解决过程进行了深刻的剖析和探索，将问题解决过程编制成一张“怎样解题”表，其核心思想是启发法,在“怎样解题”表中，波利亚将问题解决过程分为四个阶段： 弄清问题,拟定计划,实现计划,回顾,（三）数学问题解决的认知模式 通过以上分析，结合现代认

7、知心理学对问题解决的研究，我们可以将问题解决的认知模式概括为,工 作 记 忆,解决数学问题分四个阶段：理解问题、选择算子、应用算子、结果评价。与此对应，其认知过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。,问题表征：问题表征指形成问题空间，包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作。问题表征分问题的字面理解和问题的深层理解两个层面。,模式识别：指当主体接触到数学问题之后，能将该问题归类，使得与自己认知结构中的某种数学模式相匹配的过程。,解题监控：解题者为了达到解题目标，在解题过程中对解题活动作为意识对象，对其进行积极主动的计划、监视、调节和控制的过程。,解题迁移：先前的解题学习对后继的

8、解题学习的影响。解题迁移包括知识、解题记忆、解题方法及解题技巧的迁移。实现解题迁移的前提是有正确的模式识别。,解题策略主要包括下列七种： 1、归类策略 2、化归策略 3、算法策略 4、分类策略 5、类比策略 6、构造策略 7、逆向策略,知识基础：指解题者内化的各种数学模式。 解题策略：为了有效的达到解题目标，解题者采用的解题思想或方针。,1、归类策略 在解决一个数学问题时，解题者在理解题意的过程中会自觉的将问题作出适当的归类，即把所有面临的新问题归结为先前所认识的某一“类型”，这种解题策略称为归类策略。,2、算法策略。 如果存在一套规则，而且使用这套规则就能解决问题，那么称这种解题策略为算法策

9、略。,3、化归策略 采用问题转化的思想方法解决问题称为化归，这是解决数学问题使用最多的策略。具体的化归策略则包括：特殊化、一般化、分割化归、映射化归。映射化归又包括：恒等变化、几何变换、三角变换、参数变换、极坐标变换等。,4、分类策略。 按问题可能出现的种种情形进行分类，然后对由每种情形形成的子问题进行解答，从而达到解决原问题的目的。,5、类比策略 当两个数学问题之间不存在抽象关系，但存在某中潜在联系时，在解答其中一个问题的过程中，往往可参照另一个问题的解答方法或解题途径，这即为类比策略。,6、构造策略。 通过构造一种模型解决问题的策略称为构造策略。“模型”可以是多种类型的，如函数模型、图形模

10、型、三角模型、向量模型、复数模型、方程模型等。,7、逆向策略 采用逆向分析的方法解决问题就是逆向策略。分析法、逆推法、反证法、同一法、反驳、公式的逆用等都是逆向策略的具体运用。,这些策略不是完全独立的，解答一个数学问题，会先后采用多种策略。如： 设 为实，函数 在 和 都是增函数，求 的取值范围。（06年高考文科数学）,读完这道题后，先把这道题归为导数 应用一类的题。即是利用导数的性质将这道题转为 ， 求 的取值范围。,将一个三次函数题转化成我们熟悉的一元二次不等式类型的题。利用不等式与函数间的关系，作出二次函数的图象加以分析，从而得出此题应按 三种情况来讨论，最终完成此题。 因此这道题用到了

11、归类策略、化归策略、分类策略、类比策略、算法策略。,（四）影响问题解决的因素 1、认知结构因素（CPFS结构） 2、问题表征因素 3、知识迁移因素 4、解题策略因素,1、认知结构因素（CPFS结构） CPFS结构是优良的数学认知结构，它是知识理解的基础，有助于知识的存贮和提取，它融知识与方法于一体，有助于知识的迁移。,2、问题表征因素 （1）正确的问题表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间中搜索不可能求得问题的正确。,（2）问题表征是对问题信息的提取和理解的过程，问题规则在问题表征中起重要作用。,（3）在问题表征过程中，导致建构出错误的或者不完整的问题空间的因素包括：信息遗漏、信息误解、隐喻干扰（问题信息中潜在的歧义性使被试困惑或误导被试的解题思路）,（4）问题表征受个体数学知识背景的影响。 （5）问题表征受思维水平的影响。,3、知识迁移因素 能否拥有可迁移的知识和技能迷失否能激活与当前问题有关的图式，是否能将当前问题与头脑中已形成的