漫谈数学基本思想史宁中.ppt

1、漫谈数学的基本思想,史宁中,东北师范大学，长春，130024,一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。 数学课标：双基四基、两能四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题,大学的数学教学也要关注培养学生的 思维方法：创新的根本。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。,二、数学的基本思想 数学产生与发展所依赖的思想； 学

2、习数学以后具有的思维能力。 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。 推理：促进数学内部的发展；推理能力强。 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。,抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。,数量的第一步抽象 数量 数。 2匹马、2头牛 2。 数量的本质多与少 数的本质大与小 刻画大小的序关系 自然数、加法

3、 有理数 分数：部分与整体；线段长度之比 加法 四则运算 自然数 整数、有理数、实数 如何定义实数？运算？连续性？ 抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现； 唯名论(亚里士多德)，数学是发明。 抽象了的东西是存在的：抽象的存在。,数量的第二步抽象 变量、极限运算 如何理解如何解释 导数：牛顿(16761666)提出，最初的解释是利用无穷小。 问题：什么样的函数可导？ 明确函数定义 + 明确极限定义 符号表达 1755年，欧拉的变量说，初中。抽象不够 问题 f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1 表达是一个函数，还是两个函数？ 1851年，黎曼的对应说，高中。

4、新概念和物理背景 函数 对应 集合 集合：所要研究对象的全体？ 罗素悖论,极限运算 1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。 可以理解：当 n 时1/n 0； 很难理解：当 n 时 x 0 。 函数连续，当 x x0 时 f(x) f(x0) ？ 1. 任何数列 xn x0 ，都有f(xn) f(x0)。 2. 任意0，存在 0，当 x - x0 时f(x) f(x0) 则称 f(x) 在 x0 处连续。 两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？,清晰定义实数 清晰定义无理数 重新定义有理数 有理数分数形式 小数形式：有限 + 无限循环(极限) 无理数：无限不循环

5、小数 如何判断(百,千) 实数 有理数 + 无理数 如何计算： 23 =23 ？用小数验证？ -2-3 = (-2) (-3)？ 如何理解：连续 实数与数轴一一对应？,1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 解决实数的运算 假定有理数列 an a, bn b 。 根据极限的性质有 an2 a, bn2 b，an2bn2 ab 则有理数列an2bn2 (anbn)2 确定实数ab 所以有理数列anbn确定实数 ab，即 ab = ab,1872年，戴德金分割。解决实数的连续性 算术公理化系统： 九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。 证明 43。第7公理：a=b，则a+

6、1=b+1； 第8公理：a+11。 集合公理化系统： 九个公理：ZF系统(策梅罗1908年 弗兰克尔集合论基础) 定义：用符号表达的集合、空集、关系、运算； # 选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。 实现了数学的符号化、形式化、公理化。,形式化与直观的矛盾 数学是创造 直观认为 集合测度至少要满足下面四个条件：令是由实数集合构成的类，m是类中的集合测度，那么 1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于中的两个集合A和B，如果BA，那么 m(B)m(A)。 3 可列可加性。对于中的两个集合A和B，如果AB=O，那么 m(AB)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。

7、4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平 移变换，则这两个集合的测度相等，即 BB(c,A)=b=c+a;aA m(B)=m(A)。,直观认为 用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义： m(a,b) = b-a。 如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。 条件1：零测度。 因为单点集 (a,a是一个空集，则 m(a,a)=0。 条件2：单调性。区间长度显然满足。 条件3：可列可加性。 令 A = an；n=1,2, 则 m(A) = m(a1a2 ) = m(an) = 0。,条件4：存在不可测的反例 ！？ 令A=0,1，对A中的实数a和b，如果a-b为有

8、理数，则称这两个数具有“亲近”关系，记为ab。 对于aA，用E(a) 表示A中所有与a具有“亲近”关系的数的集合，称之为亲近集合。显然： 如果ab，则E(a) = E(b)，即元素之间具有“亲近”关系，则对应的亲近集合相等； 如果ab不成立，则E(a)E(b) = O，即元素之间不具有“亲近”关系，则对应的亲近集合的交为空集。,根据选择公理， 在每个亲近集合中选出一个元素组成一个新的集合，用C表示。则集合E(a)C中只能含有一个元素。 令区间 -1,1中有理数排列：c1, c2,cn, 。 令 CnB(cn,C) 表示集合C对于cn的平移。令： Cn = C1 C2 。 所以， 任意 cCn

9、必有 -1c2，则Cn-1,2； 任意 a0,1，b表示E(a)的元素，a-b=cn，0,1 Cn。,这样就可以得到 根据条件2，1 m(Cn) 3。 根据条件4，m(Cn) = m(C) 。 根据条件3，m(Cn) = m(Cn) = m(C)。 矛盾： 如果m(C) = 0，则 m(Cn) = 0； 如果m(C)0， 则 m(Cn) = 。 原因： 1.有些集合不能用基于区间长度的测度(勒贝格测度)进行度量。 2.有些测度不满足条件3，即可列可加性； 3.有限制地使用选择公理。,解决方案 德国数学家卡拉西尔德瑞（C.Caratheodory,1873-1950）： 首先，在一个由集合所构成

10、的类上定义一个基于区间长度的集合测度(外测度)，允许这个集合测度不满足条件3。 然后，用外测度对类中的集合进行度量，如果满足条件3 #，称这个集合勒贝格可测，定义这个外测度为这个勒贝格测度。 # 虽然许多教科书中不是直接定义的，但是条件3总是可以不需要任何附加条件就被推导出来。,一般来说，这个定义不符合逻辑。 因为，一个集合是否可测的“判断”发生在实际“操作”之后。 与其称为“判断”还不如称其为“验证”更为恰当。 幸亏数学家们证明了一个重要的性质 所有开集和闭集都是勒贝格可测的，也就是说，我们通常遇 见的集合都是勒贝格可测的。 这是以法国数学家鲍莱尔（E.Borel, 1871-1956）的名

11、字命 名的一个重要性质。 应当有限制地使用选择公理，比如，限制在可列个集合。,图形的第一次抽象 欧几里得几何原本描述定义：点、线、面、角。 关系术语：相交、平行、垂直、全等。 度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)。 带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？ 修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何） A：三角形。高斯曲率在 A 上的积分 = 三个角的和 。,图形的第二次抽象 希尔伯特几何基础：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义：A，a， 关联公理：两点唯一决定一条直线、三点平面 顺序公理：

12、直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边 合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等 平行公理：一条直线 连续公理：阿基米德公理（无穷集合） 公理体系：独立性、相容性、完备性 1931年哥德尔：两个不完全性定理。算数公理体系完备与相容,全等 变换 刚体变换（平移、旋转、对称） 两点间距离不变（角度不变、面积不变） 仿射变换（距离变化、透视图） 直线不变、圆锥曲线不变 拓扑变换（直线变化） 点、线、面、体不变 哥尼斯堡七桥、四色定理、欧拉定理、庞加莱定理 度量 测度：集合的大小、概率论,推理：一种思维过程。 思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维。 命题：可以进行判断的话语。 推理：一个命题

13、判断到另一个命题判断的思维过程。 命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否。 逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性。 有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。,逻辑推理 = 演绎推理 + 归纳推理 爱因斯坦： 西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系(表现在欧几里德几何中)，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(表现在文艺复兴时期)。 杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。,演绎推理：命题范围由大到小，结果是

14、必然的。 亚里士多德：出发点和三段论(大前提、小前提、结论) 数学归纳法、反证法、计算逻辑(冯诺依曼) 论证基础： 同一律：A就是A。集合、等量的等量还是等量(换元法等) 矛盾律：A与非A不能同时成立。在反证法的证明过程中 排中律：A与非A必有一个成立。反证法的依据 论证形式： 已知A求证B。A和B都是确定命题。不能创新,文艺复兴之后，培根、休谟、穆勒相继。 归纳推理：命题范围由小到大，结果是或然的。 不完全归纳法、类比法、实验、试验、调查 功能：通过条件预测结果；通过结果探究成因。 数学：结果是看出来的，而不是证出来的。 代数：哥德巴赫猜想、费尔马大定理。 几何：庞加莱猜想。 数学思想概论东

15、北师大出版社 数量、图形、演绎、归纳。,归纳教学的例子：尝试。 为得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b) 首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35 因为 8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。 从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。,模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用 叙述的是一个用数

16、学语言表达的实际故事。 方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。 比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度时间 桥梁双方：数学 + 现实。流行病模型，投入产出模型 各种场合：参数 + 约束。自由落体模型中的重力加速度,冯诺伊曼： 数学思想来源于经验，这一点是比较接近真理的。真理实在太复杂，对之只能说接近，别的都不能说。 数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。事实上，认为数学是一门创造性的、受审美因素支配的学科，比认为数学是一门别的、特别是经验的学科要更确切一些。 换句话说，在距离经验本源很远的地方，或者在多次抽象的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。,

17、符号化、形式化、公理化的目的是为了更好的表达，对于数学的本身的发展，这些都不是本质的。 数学的表达是符号的，但教学应当是物理的； 证明是形式的，但教学应当是直观的； 体系是公理的，但教学应当是归纳的。 让学生、特别是基础教育阶段的学生 体验数学思想，积累思维经验，培养他们会 理解 理解、思考、质疑、假设、验证 创新。,3. 统计基本思想 统计学与数学都是利用抽象的概念和符合，但有所不同。 立论基础 数学：公理、假设； 统计：数据、模型。 关注重点 数学：内部逻辑； 统计：实际背景。 推理方法 数学：演绎推理； 统计：归纳推理。 判断准则 数学：对与错； 统计：好与坏。,如何理解数据？ 数据是信

18、息的载体。数，图形，符号，话语 数据是随机的，蕴含信息。由偶然到必然 例1 某小学的学生，对香港男演员，不是喜欢周星驰就是喜欢成龙。用函数、概率、统计的概念来表示这样的关系。 用 x 表示这所小学的学生，用 y=0 表示周星驰，用 y=1 表示成龙。这样，就可以用 y=f(x) 表示学生 x 所喜欢的演员。,函数关系。假设：13年级的同学都喜欢周星驰， 46年级的同学都喜欢成龙。这种关系可以表示为函数：,概率关系。假设：在这所小学中，有1/3的同学喜欢周星驰，2/3的同学喜欢成龙。那么，可以表示为概率关系： PY=0 = 1/3 PY=1 = 2/3,统计关系。收集数据。如果随机调查了 n 名同学，其中 k 名同学喜欢周星驰。那么估计喜欢周星驰的同学的比例为：,如何理解统计关系的道理？ 假定模型：一个实验只有两个可能结果，成功或失败。用0表 示失败，用1表示成功；用p表示成功的概率，则失败的概率是 1p。称为Bernoulli 模型。 其中的概率p是未知的，是需要估计的。估计方法就是搜集数据，抽样调查或重复实验。这样的数据是独立同分布的，称这样的数据为样本。 通过样本对背景进行估计，进行预测。,一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回地摸球。 概率：验证出现白球的