2012年安徽省高考数学(理)试卷解析

1、2012年安徽省高考数学（理）试卷解析锦元数学工作室（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：如果事件与互斥；则如果事件与相互独立；则如果与是事件，且；则第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）（2012年安徽省理5分）复数满足：；则【 】 【答案】。【考点】复数的运算。【解析】根据复数的运算法则计算即可：。故选。（2）（2012年安徽省理5分）下列函数中，不满足：的是【 】 【答案】。【考点】求函数值。【解析】分别求出各函数的值，与比较，即可得出结果： 对于有，结论成立； 对于有，结论成立；

2、 对于有，结论不成立； 对于有，结论成立。 因此，不满足的是，故选。（3）（2012年安徽省理5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是【 】 【答案】。【考点】程序框图的结构。【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足的最小项数解答：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环循环前11第一圈是22第二圈是43第三圈是84第四圈否输出4 最终输出结果。故选。4.（2012年安徽省理5分）公比为等比数列的各项都是正数，且，则【 】 【答案】。【考点】等比数列，分数指数幂，对数。【解析】是等比数列，且，。 又等

3、比数列的各项都是正数，。 。 。故选。5.（2012年安徽省理5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则【 】 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】。【考点】平均数，中位数，方差，极差。【解析】， 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数。 甲的成绩的中位数=6，乙的成绩的中位数=5，甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数。 甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为， 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。甲的成绩的极差=84=4，乙的成绩的极差=95=4，甲的成

4、绩的极差等于乙的成绩的极差。 因此，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。故选。（6） （2012年安徽省理5分）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且， 则“”是“”的【 】 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件【答案】。【考点】充分和必要条件，两直线垂直的判定和性质。【解析】，“”是“”的充分条件。 如果，则与条件相同，“”是“”的不必要条件。故选。（7） （2012年安徽省理5分）的展开式的常数项是【 】 21世纪教育网【答案】。【考点】二项式定理。【解析】第一个因式取，第二个因式取 得： ，第一个因式取，第二个因式取得：， 展开式的常数

5、项是。故选。（8）（2012年安徽省理5分）在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是【 】 【答案】。【考点】向量的计算。【解析】设，得。又向量按逆时针旋转后，得向量，。故选。（9）（2012年安徽省理5分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若； 则的面积为【 】 【答案】。【考点】抛物线的性质。【解析】设，。 ，即点到准线的距离为。 ，即。 。的面积为。故选。（10）（2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为

6、【 】 或 或 或 或【答案】。【考点】排列组合。【解析】，在6位同学的两两交换中少2种情况。不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为人；设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。故选。第II卷（非选择题 共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）（2012年安徽省理5分）若满足约束条件：；则的取值范围为 来源:21世【答案】。【考点】简单线

7、性规划。【解析】求的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应边际及内的区域：。 当时，取得最大值0；当时，取得最小值。 的取值范围为。（12）（2012年安徽省理5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 来【答案】。【考点】由三视图判断几何体。【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱。 几何体的表面积是。（13）（2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 【答案】。【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距

8、离是。（14）（2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】，。 又，。 的最小值是。（15）（2012年安徽省理5分）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 若；则【答案】。【考点】余弦定理的应用，余弦函数的性质，不等式变形。【解析】根据余弦定理逐项分析：，。命题正确。，。命题正确。，。，。命题正确。，。命题错误。以例反证，取满足， 则。 又，。命题错误。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.（16）（2012年安徽省理12分

9、） 设函数 （I）求函数的最小正周期； （II）设函数对任意，有，且当时， ； 求函数在上的解析式。【答案】解：（I）， 函数的最小正周期。（II）当时， 当时， ，当时， ，。函数在上的解析式为。【考点】三角函数公式和性质。，【解析】（I）将化为，即可求出函数的最小正周期。 （II）由得出关于的函数关系式。由分区间讨论即可。（17）（2012年安徽省理12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题

10、和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。（）求的概率；（）设，求的分布列和均值（数学期望）。【答案】解：（I）根据题意，表示两次调题均为类型试题，概率为。（）时，每次调用的是类型试题的概率为 随机变量可取则，。的分布列如下：。【考点】概率，离散型随机变量及其分布列。【解析】（I）根据题意，表示两次调题均为类型试题，第一次调题为类型试题的概率为；第二次调题时试题总量为，类型试题为，概率为。所以两次调题均为类型试题的概率为。 （）随机变量可取，求出的分布列和均值（数学期望）。（18）（2012年安徽省理12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与

11、所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值。【答案】解：（I）取的中点为点，连接 ，。面面，面。同理：面 。共面。又，面。（）延长到，使 ，连接。，。，面面，面。面。在中，。 （），是二面角的平面角。 在中，。 在中， 二面角的余弦值为。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角，余弦定理。【解析】（I）要证，即要面，从而通过证明面和面，得到共面。由，得到面。从而是证。 （）在中，应用勾股定理即可求得的长。 （）要求二面角的余弦值，先要找出二面角的平面角。由 知，是二面角的平面角。在中，应

12、用勾股定理求得的长，在中，应用余弦定理即可求得的余弦值，即二面角的余弦值。（19）（2012年安徽省理13分）设 （I）求在上的最小值； （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（I）设，则。 当时，。在上是增函数。 当时，的最小值为。 当时， 当且仅当时，的最小值为。（II），。 由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分和求解。 （II）根据切线的几何意义列方程组求解。（20）（2012年安徽省理13分） 如图，分别是椭圆 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点

13、；（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。【答案】解：（I）由，得点，代入得：。 ， ，。 又 ， ，由解得：。椭圆的方程为。（II）设，则，解得。 。 又，且点在椭圆的上半部分，。 过点与椭圆相切的直线斜率， 过点与椭圆相切的直线与直线重合。 直线与椭圆只有一个交点。【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系。【解析】（I）根据椭圆的性质，点在上和得到三个关于的方程，求解即得。 （II）求出直线的斜率和过点与椭圆相切的直线斜率，证明二者相等即可。（21）（2012年安徽省理13分） 数列满足： （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是 （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。【答案】解：（I）证明：必要条件： 当时，数列是单调递减数列。 充分条件 当数列是单调递减数列时，。 数列是单调递减数列的充分必要条件是。 （II）由（I）得： 当时，不合题意。 当时， 。 由解得，。 ，