向量组及其线性组合

1、向量组及其线性组合,或aT(a1 a2 an),n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵),由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,(1)列向量用黑体小写字母a、b、等表示 行向量则用aT、bT、T、T等表示 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量,说明,下页,(2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量,或aT(a1 a2 an),向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维

2、向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为,说明,(3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算,其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵),下页,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,在空间直角坐标系中 点P(x y z)与3维向量r(x y z)T之间有一一对应的关系 我们把3维向量的全体所组成的集合 R3 r | r(x y z)T x y z

3、R 叫做三维向量空间,下页,在空间直角坐标系中 点集 P(x y z)|axbyczd 是一个平面(a b c不全为0) 在三维向量空间中 向量集 r | r(x y z)T axbyczd 也叫做向量空间R3中的平面 并把作为它的图形,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,下页,n维向量的全体所组成的集合 Rn x | x(x1 x2 xn)T x1 x2 xnR 叫做n维向量空间 n维向量的集合 x | x(x1 x2 xn)T

4、 a1x1a2x2 anxnb 叫做n维向量空间Rn中的n1维超平面,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,下页,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,线性方程Amnx0的全体解当R(A)n时是一个含无限多个n维列向量的向量组,下页,向量 n个有次序的数a1 a2 an所

5、组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组,下页,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组,下页,向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称

6、为第i个分量,向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,向量举例,一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组,下页,今后 由列向量组A a1 a2 am所构成的矩阵简记为A或(a1 a2 am),线性组合与线性表示 设A a1 a2 am是一向量组 表达式 k1a1k2a2 kmam 称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这线性组合的系数,如果向量b是向量组A的线性组合 b1a12a2 mam 则称向量b能由向量组A线性表示,定理1 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵

7、B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B),下页,例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式,设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b),因为,所以R(A)R(B) 因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示,由上列行最简形 可得方程(a1 a2 a3)xb的通解为,从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值,下页,注,bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l),向量组的等

8、价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使,矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵,若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价,下页,因此 若CAB 则 (1)矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,(2)矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示,向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使,若向量组A与B

9、能相互表示 则称这两个向量组等价,下页,提示,若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价,矩阵等价与向量组等价的关系,这是因为 矩阵A经初等行变换变成矩阵B 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合 反之 由初等变换的可逆性 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示,向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价,下页,若矩阵A与B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价,若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价,矩阵等价与向量组等价的关系,向量组的等价 若向量

10、组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价,下页,向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价,定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A B),注,(A B)(a1 a2 am b1 b2 bl),推论 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R(A)R(B

11、)R(A B),下页,例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价,记A(a1 a2) B(b1 b2 b3),证明,将(A B)化为行最简形,又R(B)R(A B)2 于是知R(B)2 因此 R(A)R(B)R(A B) 根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价,可见 R(A)2 R(A B)2,故R(B)2,容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式,下页,定理3 设向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 则R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am),证明 记A(a1 a2 am) B(b1 b2 bl) 按定理的条件 根据定理2有R(A)R(A B) 而R(B)R(A B) 因此 R(B)R(A),例