复变函数教学资料61

1、第6章 统计量及其分布,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，,与概率论一样，数理统计是研究随机现象的统计,规律的。它以概率论的理论为基础，根据试验或,观察得到的数据，对研究对象的客观规律性作出,种种合理的估计和判断，从而为决策和行动提供,依据和建议。,数理统计的内容非常丰富，从第6章开始 ，,将逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及,回归分析的部分内容。,第6章将介绍总体、随机样本及统计量等数,理统计的基本概念，并着重介绍几个常用的统,计量及抽样分布。,6.1 总体与样本,6.1.1 基本概念,在生产实践中，我们经常会遇到统计推断问,数理统计中，我们把所研究的对象的全体称为总体（或母体）；而

2、把组成总体的每个对象称,称为个体。在实际问题中，我们关心的是总体的某个数量指标，它由所有个体的指标值而组成，,分布函数，并不再区分总体与 ，而笼统的称之,个随机变量 。今后 的分布函数就称为总体的,某个随机变量的一次观测值，则总体就对应了一,其中的数值可以相同。若视每个个体的指标值为,性： 一方面， 由于样本是从总体中随机抽取,本容量。我们首先指出，样本具有所谓的二重,称为总体的一个样本，n称为样,随机变量，用大写字母 表示；另,为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽取 个个体，记其指标值为 则,一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观,的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是,测值，因此，

3、样本又是一组数值，此时用小写字,母 表示是恰当的。从总体中抽取样本,（1）随机性： 即对于每次抽样，总体中每个个体都有同等的机会被抽取，这便意味着每一个样本 与总体 有相同的分布。,就需要对抽样方法提出一些要求：,可靠的推断，就希望样本能很好的带边总体。这,可以有不同的取法，为了能由样本对总体作出较,（2）独立性 即每次抽取的结果既不影响其他各次抽取的结果，也不受其他各次抽取结果的影响。,一般地，有下面的定义：,是来自总体 的一个容量,互独立，且具有相同的概率分布 ，则称,定义1 若 个随机变量 相,为n的简单随机样本，简称为样本。,样本 的所有可能取值的全体为样本空间。,随机变量，记 为 的

4、一次观察,值,则称 为样本的一次观察值。,由定义可知，若 来自总体,的一个样本，则 的分布函数为,容量为 的样本 是一个n维,其中 是分布 的密度函数。,若 的分布密度为 ，则 的密度函数为,例1 设有一批产品共 个，需要进行抽样检,验以了解其不合格率 ，现从中抽取 个逐一检查它们是否是不合格的。如果把合格品记为0，不合格品记为1，则总体 服从两点分布，,是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，则,而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为,显然，如此得到的样本不是简单随机样本，但是当 很大时，上述两种情况的概率都近似等,6.1.2 经验分布函数,其他,反过来，如何由样本来推断总体

5、的分布呢？,为此，我们引入经验分布函数。,本，将其对应的观测值 按由小到,大的顺序排列为 令,定义2 设 是取自总体 的样,称 为 的经验分布函数。,解 将观测数据由小到大排列为,22.5=2.5=2.52.73=33.5.,由定义知所求分布函数为,抽取一容量为20的样本及一容量为400 的样,本，其经验分布函数 及 的图形分,由经验分布函数的构造，可见 具有下,面性质：单调不降;处处右连续；,例如，在某种灯泡的寿命总体 中，随机,别为图6-1、图6-2的阶梯形。 图中曲线为总,体分布函数 的图形。,对于样本的不同观察值 ，我,数值， 是一个随机变量。对于这个随机变,定理1 （格利汶科定理）

6、经验分布函数,以概率1关于x一致收敛于 ，即,们将得到不同的 。因此，对于 的每一个,论上严格地证明了以下结论。,量，格利汶科（W.Glivenko） 于1933年从理,这就是我们用样本推断总体的理论依据。,实际上将近似地等于总体的分布函数 。,6.1.3 统计量,定理表明，当 很大时，经验分布函数,的要求而构造样本的各种不同函数。为此引入如下统计量的概念。,本函数 是一个统计量。,定义3 设 是从总体中随机抽,函数，如果 中不包含任何未知参数，则称样,取的一个样本， 为 元连续,下面介绍几个常用的统计量。,称统计量,为样本方差。称 的正平方根 为样本标准差；称统计量,为样本 阶原点矩；称统计量,为样本 阶中心矩；,由上式可知,对于样本的观察值 上述统计 量的观察值分别记为,取值 时， 取值,记 是这样的随机变量，当,定义4 设 是取自总体,这样得到的 个新的随机变量,称为总体 的一组顺序统计量， 称为第,按由小到大的顺序排列为,的样本，将其对应的观测值,由定义知，,且,中最大的那一个。,位顺