数学实验课件：数学实验第三章

1、符号计算与微积分,符号表达式创建 微积分符号计算 级数求和与泰勒展式 常微分方程符号解, ,符号表达式符号变量、运算符、函数、数字组成 表达式语句: 变量名=符号表达式 符号表达式以符号变量为基础;符号变量需声明后才可以投入使用。,MATLAB的符号计算主要功能是处理符号表达式，即针对常用数学表达式进行代数符号计算。,声明符号变量的语句格式: syms 开始, 空格后跟变量列表, 变量名以英文字母为首 syms x1 x2 y1 y2 z1 z2,syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,8*pi),例3.2 用符号表达式定义 f(x)=

2、e-0.2xsin0.5x 并绘图.,Name Size Bytes Class f 1x1 168 sym object x 1x1 126 sym object,Whos ,例3.4 用符号计算验证三角恒等式,syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2),y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),练习:分别用simple和simplify对符号表达式 cos(x)2-sin(x)2 进行化简，观察结果,化简符号表达式方法si

3、mple() 或simplify(),微积分符号计算,diff(f) 对缺省变量求导数 diff(f,v) 对指定变量 v 求导数 diff(f,v,n) 对指定变量 v 求n阶导数 int(f) 对f表达式的缺省变量求积分 int(f,v) 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在a, b 区间求定积分,例 计算 f = arctan(x) 的导数并绘图,syms x y=atan(x);y1=diff(y,x), y2=diff(y1,x), figure,ezplot(y) figure, ezplot(y1) figure, ezplot(y2),y1=

4、1/(1+x2) y2=-2/(1+x2)2*x,例3.9 计算不定积分,syms a b x F=int(exp(a*x)*sin(b*x);F=simplify(F) F = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2),f=diff(F);f=simplify(f) f = exp(a*x)*sin(b*x),并求原函数导数，验证不定积分正确性,例 加油站油库深度12米呈啤酒桶形状,顶部和底部半径为2米,中心半径为3米。纵截面右侧是抛物线,t=linspace(-6,6,30);r=3-t.2/36; cylinder(r,30),axis off s

5、yms d D f=3-d*d/36;V=pi*int(f*f,d,-6,D) V12=subs(V,D,6),V =pi*(1/6480*D5+216/5-1/18*D3+9*D) V12 = 271.4336,利用公式 计算储油量,符号表达式中变量替换方法subs(),例3.11 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕X轴旋转的旋转曲面体积,数据转化为数值数据: double(A),syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,-0.2); f2=subs(f1,b,0.5); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi)

6、 double(V),V =pi*(-125/116*exp(-4/5*pi)+125/116) ans = 3.1111,theta=linspace(2*pi,0,20); r=exp(-0.2*theta).*sin(0.5*theta); figure(1),cylinder(r) axis off,旋转曲面的绘图注记：,X,Y,Z=cylinder(r); figure(2),mesh(-Z,X,Y) axis off colormap(0 0 0),例 卫星信号对地球的覆盖面积,通信卫星的轨道位于地球赤道平面内,卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同.卫星距地面的最低高度为 h (

7、km),计算卫星信号对地球的覆盖面积,球面方程,S = 2*R2*pi*h/(R+h),syms r R t x=r*cos(t);y=r*sin(t); f=R/sqrt(R2-x2-y2); S1=int(f*r,t,0,2*pi); S=int(S1,r,0,R*sqrt(1-(R/(R+h)2); S=simple(S),SS=subs(S,R,h,6400,20000); S0=4*pi*64002; SS/S0*100,信号覆盖率 ans = 37.8788,球冠面积公式,级数求和运算,S=symsum(f，n，a，b),syms k n S=symsum(k,k,1,n)；S1=

8、simple(S) S1 =1/2*n*(n+1) S=symsum(k2,k,1,n);S2=simple(S) S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1),例3.17计算级数,taylor(f,n,x) n-1次麦克劳林多项式展开 taylor(f,n,x,a) a点的n-1次泰勒多项式展开.,例3.21求椭圆积分近似表达式,syms t e2 x f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)2) int(g,0,pi/2),ans= 1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e22*pi,命令格式：dsolve(eq1,con1,x) y的一阶导数 Dy, y的二阶导数 D2y,例3.