数学物理方法课件：第十章球函数及其应用

1、第十章 球函数及其应用,用球坐标系对,拉普拉斯方程,亥姆霍兹方程,分离变量,球函数方程：,设球函数,（自然周期条件）,分离变量形式球函数：,l 阶连带勒让德方程：,l 阶勒让德方程：,l 阶勒让德多项式,10.1 轴对称球函数,当问题以球坐标的极轴为对称轴时:,l 阶勒让德方程：,勒让德方程和自然边界条件构成的本征值问题：,本征值：,本征函数：,l 阶勒让德多项式,一、l 阶勒让德多项式,(1)当 l =2 n 为偶数时：,1. l 阶勒让德多项式的表达式:,:表示不超过l /2的最大整数：,只含有 l /2+1 = n+1 项偶次幂项,其中常数项(k=n):,(2)当 l =2 n+1 为奇

2、数时：,只含有( l 1)/2+1 = n+1 项奇次幂项,不含常数项,最低次幂项(k=n):,是偶函数,是奇函数,2. 勒让德多项式的微分表示:(Rodrigues公式),3. 勒让德多项式的积分表示:,（施列夫利积分),C是复平面上围绕 z=x 的任一闭合回路,二、勒让德多项式的性质,1、不同阶（l）的勒让德多项式在区间 -1，1上相互正交,2、勒让德多项式的模,勒让德多项式的模：,3、以勒让德多项式为基的广义傅里叶级数,4、勒让德多项式的母函数,可以证明：,物理意义：,半径为a 的球北极置一电荷, 电量 , 则空间一点的电势,又：u 满足,在球内(r a):,在球外(r a):,半径为a

3、 的球北极置一电荷, 电量 ,空间一点电势:,时：,5、勒让德多项式的递推公式,解,例 计算定积分,解：,三、轴对称球函数的应用,解,考虑自然边界条件,例 半径 r0 的半球 ，其球面上温度保持为 ，底面绝热。求半球内温度 的稳定分布。,解,或：,需把定解问题延拓到下半球面；对第二类齐次 边界条件用偶延拓：,轴对称下拉普拉斯方程在球内部的解为：,比较系数：,例 在匀强静电场E0 中放置一半径 r0 的均匀介质球，介电常数。求介质球内、外电场分布。,解,以 E0 方向为对称轴,电场 E 在球面不连续,1球内电势 u内,轴对称下拉普拉斯方程一般解：,待定,2球外电势 u外,轴对称下拉普拉斯方程一般

4、解：,待定,3球内电势 u内与球外电势 u外的衔接,衔接条件：,比较系数：,常数 A0 由电势零点确定。,10.2 连带勒让德函数,在非轴对称情况下,球函数,满足l 阶连带勒让德方程及自然边界条件：,x0= 0 是连带勒让德方程的常点，可在x0= 0 邻域 上求得连带勒让德方程的级数解：,连带勒让德函数,其中：,连带勒让德方程及自然边界条件构成本征值问题,本征值：,本征函数：,连带勒让德函数,一、连带勒让德函数,1、连带勒让德函数的表达式,2、连带勒让德函数的微分表示,3、连带勒让德函数的积分表示,应用科西公式：,C是复平面上围绕 z = x 的任一闭合回路,二、连带勒让德函数的性质,1、 连

5、带勒让德函数,都是连带勒让德方程满足自然边界条件的解，但 它们线性相关（不独立），相差一常数因子。,2、连带勒让德函数的奇偶性,为偶函数,为奇函数,3、连带勒让德函数的正交关系,相同 m ,而不同阶 l 的连带勒让德函数在区间 -1，1上相互正交,4、连带勒让德函数的模,5、以连带勒让德函数为基的广义傅里叶级数,6、连带勒让德函数的递推公式,解二,10.3 一般球函数及其应用,1、一般球函数表达式,一、球函数,l 称为球函数的阶；,线性独立的 l 阶球函数共有2l + 1 个：,1个,l 个,l 个,2、复数形式球函数,应用,将独立的2l+1个l 阶球函数用复数表示为：,二、球函数的正交关系,对复数形式球函数有：,三、球函数的模,对复数形式球函数有：,四、球面上的函数的广义傅里叶级数,（1）先对 展开为傅里叶级数,解：,比较系数：,又,同理：,解：,五、正交归一化的球函数,物理学中常用正交归一化的球函数,1、定义：,2、正交归一关系：,3、广义傅里叶级数,六、一般球函数的应用,例1 半径为r0 球形区域内部没有电荷，球面上的电势 为 ,求球形区域内部的电势分布？,解,球内电势满足定解问题：,在非对称情况下，一般解为：,由自然边界条件：,所以：,代入边