数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题

1、第九章二阶常微分方程级数解法 本征值问题(6),1,9.1 特殊函数常微分方程 （球坐标系、柱坐标系中的分离变量法）,球坐标系：,体积元,2,体积元,柱坐标：,3,代入（9.1.1）得到,分离变量解：,令,解为,4,(9.1.2),5,ii）单位球面上方程：,球函数方程,可以进一步分离变量：,(9.1.3),6,(9.1.6),(9.1.9),7,当m=0 时，称为 Legendre 方程：,注意： 因 x=cosq, 而 q 的变化范围是 0, , 所以x 的变化范围是 -1，+1 。,即：,(9.1.12),P189表,（2）柱坐标系,代入方程(9.1.13) 得到:,试分离变量解:,8,

2、(9.1.13),对方向, 有本征值问题:,本征值问题的解:,9,式中为待定的本征值，是由齐次边界条件确定。,m的取值有正、负、零三种情况： (i) r方向非齐次边界条件, z方向齐次边界条件, 仅当 m0有满足 z 方向齐次边界条件的解， 记-m =n 2,10,(iii) m=0,11,P189表,（二）波动方程 (边条均齐次化),称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。,12,(9.1.26 ),P189表,13,（三）输运方程,称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。,P189表,14,（四）Helmholtz 方程 (边界条件均齐次化),（1）球坐标系,分离变量解：,15,ii）

3、径向方程：, 称为 l 阶球 Bessel 方程。,(9.1.39),(9.1.39)附加球面（r=r0）处的齐次边界条件，构成本征值问题，决定 k 的可能数值 k20,P189表,16,（2）柱坐标系,三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量后，空间部分满足的是 Helmholtz 方程。 在柱坐标系下：,(9.1.41 ),17,ii) 对 z 方向：,18,19,(ii) m=0,19,P189表,分 离 变 量 结 果,方程,球坐标,柱坐标,:,Helm- hotz 方程,Laplace 方程,R：,R：,Z：,:,R：,21,本节小结,拉普拉斯方程 u=0 球坐标系,22,拉普拉

4、斯方程 u=0 柱坐标系,23,亥姆霍兹方程u+k2u=0球坐标系,24,亥姆霍兹方程 u+k2u=0 柱坐标系,25,本节小结特殊函数方程,连带勒让德方程,l 阶球贝塞尔方程,阶贝塞尔方程,m 阶贝塞尔方程,m 阶虚宗量贝塞尔方程,l 阶勒让德方程,9.2,10.2,11.4,9.3,11.5,26,第190页 1. 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数。,解：二维波动方程,(1),27,设,(6),(6)代入(5)，得:,(7),28,设 x=kr ，将l=m2 代方程(8)化为:,(12),(12)即是m阶贝塞尔（Bessel）方程，与附加圆周上的齐次边界条件构成本征值问题，决定 k

5、的可能取值 k0。,于是，方程(4)的解为:,本节作业： 第190页 第2题， 复习泰勒级数和洛朗级数.,(13),(14),29,9.2 常点邻域上的级数解法,(勒让德Legendre方程的级数解),求一定区域内(方程在某指定点z0的邻域内且满足一定条件)方程的解。,其中：p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变函数。 初值问题：,二阶线性常微分方程的标准形式:,或者写成,（一）方程的常点和奇点,方程解的性质完全由 p(z) 和 q(z) 的解析性质决定。 设p(z) 和 q(z) 在一定区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类： 常点： 若系数 p

6、(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内解析，则 z0 点称为方程的常点； 奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点；,若z0是Lw=0的奇点，但z0至多是p(z)的一阶极点、同时至多是q(z)的二阶极点，则称z0是Lw=0的正则奇点。否则， z0是Lw=0的非正则奇点。,常微分方程Lw=0在常点和正则奇点可以用级数解法求解。,30,31,(二) 常点邻域上的级数解,c0和c1是任意给定的复常数。,在这圆内有唯一的解析解w(z)满足初值条件，,微分方程解析理论的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圆 |z-z0|R 内是单值解析的,

7、则方程,32,因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。,在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 、p(z)和q(z)都是解析函数，故均可展开成Taylor 级数(p38)：,将三者的幂级数代入方程Lw=0，比较系数得到系数递推公式，利用系数递推公式可从 a2 开始逐一将所有系数用a0, a1 表示出来。 a0, a1 为两个任意常数，正是两个积分常数 。,33,第194页 1. 在x0=0的邻域上求解常微分方程 y”+w2 y =0 （w 是常数）,解：,(1),代入(1)式，有,即（y(0)=a0， y(0)=a1 ）,34,由(3)得,(4),(5),35,将(4)(5)代入(

8、2)，得方程的解,(6),由递推公式(3)，用比值判别法可求得幂级数y0、y1的收敛半径,36,（三）Legendre 方程的级数解,如果在球坐标系对亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程分离变量，便得到关于q 变量的连带勒让德方程,(9.1.11),其中,若m=0, 方程即为勒让德方程,记,(9.1.12),上式化为,(9.2.4),即,37,当 x=0, 均有限，因此是方程的常点。,因,在 x0=0 的邻域上求解 l 阶 Legendre 方程,在 x=0邻域 |x-0|1内，方程的解具有Taylor 级数形式：,代入 Legendre 方程：,(9.2.4),38,39,因此 Legendre 方程

9、的通解可表示为：,为使用方便，用k-2表示k，有,(9.2.5),所有偶次幂的系数均可用 a0推出，所有奇次幂的系数均可用a1推出。反复利用递推公式，得,40,任意给定初始条件a0 和 a1,就可得到一个特解。 y0(z)偶函数(a0=1,a1=0) 和y1(z)奇函数(a0=0,a1=1)是Legendre 方程的两个线性无关的特解。,级数的收敛半径：,因为x=1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。,41,|x|1，级数收敛,|x|1，级数发散,大部分情况级数收敛,收敛还是发散？,实际物理问题要求方程在-1,+1上存在有界解,42,由系数递推公式,l=2n,（n=0,1,2

10、）, y0(x) 最高幂次为xk = xl =x2n; 从x2n+2 项起， 系数为零；无限级数退化成最高幂次为xl的多项式(偶函数)，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y1(x) 仍然是无限级数并且在x=1 发散。,l=2n+1, (n=0,1,2) , y1(x) 最高幂次为xk = xl = x2n+1; 从x2n+3项起， 系数为零；无限级数退化成最高幂次为xl 的多项式(奇函数) ， 从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y0(x)仍然是无限级数 并且在x=1 发散。,两解其中必有一个为多项式最高幂次为xl，多项式经适当处理称 l 阶Legendre多项式，记为Pl(x)。,

11、(9.2.5),43,如果要求物理问题在 q=0 和 q= 有限，那么分离变量 过程出现的常数 l 只能取零和正整数。“解在x=1 保持有限”这一条件使 l 只能取零和正整数。,“自然边界”条件:,本征值：l(l+1)(l为零或正整数) 本征函数： l 阶Legendre多项式， Pl(x),本征值问题,44,在常点邻域内求级数解的一般步骤,2、比较系数，获得系数间的递推关系；,3、反复利用递推关系，求出系数 ck 的普遍表达式（用 c0 和 c1 表示），最后得出级数解。,线性方程,线性递推关系,w1(z) 和 w2(z) 是两个线性无关的特解,作业： 第194页 第2题,1、将方程常点邻域

12、内的解展开为泰勒级数，代入方程；,45,9.3 正则奇点邻域上的级数解法,（一）正则奇点邻域上的级数解,定理 ：方程(9.3.1)在它的奇点 z0 的邻域0|z- z0 |R 内有两个正则解的充要条件是: (z- z0)p(z) 和 (z- z0)2q(z) 在0|z- z0 |R 内解析，即 z0 至多是 p(z) 的一阶极点、同时至多是q(z) 的二阶极点。满足这一条件的奇点称为方程的正则奇点，否则称为非正则奇点。,系数 p(z) 和 q(z)中只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇点. 因此，在 z0 点邻域的级数解应该是洛朗Lauren

13、t 展开。,这时方程的二个线性独立解为正则解(只有有限个负幂项)：,其中s1(大), s2(小)为判定方程(9.3.9)的两个根 (p196),(9.3.6),(9.3.7),(9.3.8),(9.3.9),(9.3.5),A, ak, bk为常数系数, a0 0, b0 0，p-1, q-2为展开系数。 s1 - s2 整数时取(9.3.7), s1 - s2 =整数时取(9.3.8)。,46,47,（二）在正则奇点邻域内求正则解的方法 （1）将正则解 (9.3.6)代入方程； （2）由最低次幂系数方程，求出s1,s2 ；由其它高次幂系数方程，得出解为(9.3.6)形式的系数递推公式； （3

14、）将s1代入递推公式,从a0依次求出ak, 从而求出w1； （4）若s1 - s2 整数, 将s2 代入递推公式, 从b0依次求出bk , 从而求出w2； 若s1 - s2 =整数，将 代入方程, 比较系数, 求出A和bk ,求出w2。,48,例：在 x0=0 的邻域上求方程 的级数解。,解,(1),x0=0是方程的正则奇点。在x0=0 的邻域，设,因为,(2),49,判定方程,两个根,s1=2, s2=-1,x高阶次幂项系数方程：,(4),将大根 s1=2代入(4)，得递推公式,因为 ,若k 0 ,则 ak=0；若ak 0,则 k=0 。故ak=0(k 0) ，代入(2)，得一特解,50,(

15、6),(5)代(1),得,方程(1)的通解为,51,补充(p413) , (GAMA)函数,基本性质：,p397,52,补充(p413) , (GAMA)函数,53,利用递推公式,即,把函数向x0的区域延拓：,-1x0, , 0x+11,-2x-1, , 0x+21,-nx-n+1, , 0x+n1,零和负整数是(x)的单极点，即,54,（三）Bessel 方程的级数解,x=0 是 p(x) 的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。,注意： 是任意实数。,在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解,级数形式解：,代入方程(1)，整理得到,55,(I

16、) s1 - s2 =2n 正整数及零,56,i) 求 y1(x)，( s= s1 =n ),由于a1 =0 故级数的所有奇数项系数为零: a2k+1 =0,57,得到一个无穷级数解,58,在 y1(x)中 -, 得另一个无限级数解y2(x),记为J-n(x),ii) 求 y2(x)，( s= s2 = -n ), -阶 Bessel 函数,收敛半径： J-n(x) 的收敛范围：0 |x| ,通解：,59,i) 2 =2m, 即 =m, (m=1,2,3,.),(II) s1 - s2 =2n = 整数,第一个解仍然是 Jm(x),见p203(9.3.35)。对第二个解,亦取,用,结果,m 阶

17、 Neumann 函数,通解：,J-m(x)=(-1)m Jm(x) 不能作为线性独立的第二个特解p204,60,ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.), 即= l+1/2, 半奇数,(9.3.28),l=0,但 A=0,61,(9.3.29),1/2 阶Bessel方程的通解是,一般半奇数阶, 常数 A=0, 因此线性独立解为：,62,2 =2m=0,半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示. 可以证明公式：,63,小结:,(I),(II) i） 2=2m (m=1,2,3,.) ii) 2=2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2=2m=0,64,() 函数图像

18、,65,66,67,68,() x=0处的自然边界条件,剩下J0(x), Jm(x), Jn (x)，称 x=0 处具有自然边界条件。,若研究区域含x=0，要去掉 N0(x), Nm(x), Nn (x), J-n (x),69,(四) 虚宗量贝塞尔方程,令,为阶贝塞尔方程,(1) n阶n (整数、半奇数) 虚宗量贝塞尔方程,70,令阶虚宗量贝塞尔函数为实数,阶虚宗量贝塞尔方程的通解为,或阶诺伊曼函数,71,考虑m阶虚宗量贝塞尔方程,(2) 整数m阶虚宗量贝塞尔方程,令,为m阶贝塞尔方程,作业： P212 第2题,72,9.4 施图姆-刘维尔(Sturm-Livouville) 本征值问题,（

19、p212）由数学物理偏微分方程的分离变数法引出的常微分方程，往往附有边界条件，这些边界条件有的是明白提出来的，有的却是没有明白提出来的所谓自然的条件。满足这些边界条件的非零解往往不存在，除非方程的参数取某些特定值。这些特定值叫做本征值，相应的非零解叫做本征函数。求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题。 常见的本征值问题都归结为施图姆-刘维尔本征值问题。,73,Sturm-Livouville 本征值问题,（一） 施图姆刘维尔本征值问题,Sturm-Livouville 方程,74,本征函数： 本征值：,Legendre 方程(p183)的本征值问题,75, Bessel 方程(p184)的本征值问题 作变换 方程成为标准 Bessel 方程(p185),本征函数： 本征值：,76,ii) 如果端点 x=a and/or x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件(有界)！,iii