几何与代数课件：习题解析第三章

1、,2010年国家级精品课程,几何与代数习题解析第三章,第三章 几何空间,1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？,2. 向量的各种运算以及相应的几何意义？,3. 如何求投影直线方程？,向量1, 2 , 3 R3共面 存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k11+k22+k33 =. 存在一个向量可由其余向量线性表示. 齐次线性方程组(1,2 ,3) = 有非零解. r(A) = r(1,2,3) 3 1,2 ,3 线性相关.,(但不知是哪个向量),注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0, 1,2 ,3 线性无关,任何一个向

2、量都不能由其余向量线性表示., r(A) = r(1,2,3) = 3, A 可逆.,1. 如何判别两个向量共线、三个向量共面？,2. 向量的数量积、向量积和混合积,| |=| | |sin =S,正定性,线性性, Schwartz不等式,反对称性 = , =0 , = /, = a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面体),轮换对称性, 行列式的性质,(, , ) =0 共面,3.4 空间的平面和直线,3. 如何求投影直线方程？,2. 如何求两条异面直线的距离？,1. 如何求直线与平面的夹角？,由直线的一般方程构造平面束方程求得,由直线的标准方程求法向量和点法式

3、平面,零向量 或 ,希腊字母等表示向量可以不加箭头.,模的符号要用双竖线.点积、叉积的符号不能丢.,看清题目要求是求直线还是平面方程.,第一章 向量代数 平面与直线,作业中的问题,作业中的问题：,证明：,3.证明：向量,共线 +, 共线,第三章 几何空间,习题解析,“”,向量,共线, 存在唯一的实数k使得 = k,当=, 时, ,共线但 k,?,存在一个向量可由另一个向量线性表示.,向量,共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k1 +k2 = .,(但不知道是哪一个向量可由另一个向量线性表示),证明：,3.证明：向量,共线 +, 共线,第三章 几何空间,习题解析,“”,向量,共线, +,

4、都与,共线, +, 共线,“”,因为 +, 共线,不全为0的实数k1, k2使得 k1( +) + k2( ) = .,即 (k1+ k2) + (k1k2) = .,所以当 k1, k2不全为0 (k1+ k2), (k1k2)也不全为0.,从而向量,共线。,用数量积证明余弦定理.,8.,证,即,中,证明I：,证明II：,第一章 向量代数 平面与直线,设,则,思考题3,证明III：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题3,三维空间上的勾股定理：直角四面体斜面三角形面积的平方等于三个直角面三角形面积的平方和.,三维空间上的勾股定理：直角四面体斜面三角形面积的平方等于三个直角面三角形面积的平方和

5、.,解：,所以，当 时，,当 时，, 的夹角任意.,第一章 向量代数 平面与直线,习题1.3.7,解：,法I: 利用等腰三角形三线合一的性质来求解,为等腰三角形.,第一章 向量代数 平面与直线,习题1.3.8,解II：设,第一章 向量代数 平面与直线,注意到AOC必为锐角，所以mn0, 即n0.,习题1.3.8,解III：,第一章 向量代数 平面与直线,习题1.3.8,思考题,解：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题1,解I：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题2,解II：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题2,证明I：,证明II：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题4,证明III：,

6、不能设具体的向量值,第一章 向量代数 平面与直线,思考题4,第一章 向量代数 平面与直线,练习题,1.化一般方程为标准方程,2. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(1, 4, 9)共面的充分必要条件是 .,的距离为 .,4. 点P(2, 1, 1)到直线l:,3. 以点A(1, 1, 2), B(2, 1, 1), C(1, 1, 1)为顶点 的三角形的面积为 .,5.求经过直线,的平面方程.,且与xOy平面垂直,k = 3,1,第一章 向量代数 平面与直线,练习题,1.化直线的一般方程为标准方程,解：,直线的方向向量为,两个方程消去x可得，,

7、令 y = 5,则 z = 3,x = 2,所以，直线上一点可取为(2,5,3).,直线的标准方程为,第一章 向量代数 平面与直线,练习题,2. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(1, 4, 9)共面的充分必要条件是 .,3. 以点A(1, 1, 2), B(2, 1, 1), C(1, 1, 1)为顶点 的三角形的面积为 .,k = 3,共面,解：,第一章 向量代数 平面与直线,练习题,的距离为 .,4. 点P(2, 1, 1)到直线l:,5.求经过直线L,的平面的方程.,且与xOy平面垂直,1,解：设过 L 的平面束方程为:,取,平面的方程为,解：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题7,直线l上的一点可取为交点,则直线l的方程为,解：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题9,P0 ,M,直线l 上有点,则垂线的方程为, P,所以垂线的方向向量为,垂足可由两个直线方程联立得到：,解：,第一章 向量代数 平面与直线,思考题9,P0 ,M,直