几何与代数课件：总复习

1、,几何与代数总复习,2010年国家级精品课程,线性 方程组 Ax=b,加法和数乘,转置: (AB)T=BTAT,A1: AB=BA=E,分块运算: 分块转置,初等行(列)变换,秩: r(A)=行(列)秩,Ak , f(A),Eigen pair: A= (),相似: P1AP=B,xR3时判别直线和 平面的位置关系,b可由A的列向量组 A1, A2 , ,An线性表示,方阵的特征值和特 征向量 A= (),方阵的相似对角化 问题 P1AP=,实对称阵正交相似对角化Q1AQ=diag(1,n),正交变换化实二次 型为标准形,直角坐标变换化二次 曲面为标准形,AB: 交换律消去律,|A|: Rnn

2、 R,tr(A)=aii: Rnn R,A*=(Aji): AA*=|A|E,相合: PTAP=B,正定: AT=A, xTAx0 (x),判别解: r1r2无解 r1=r2=n 唯一解, r1=r2n 无穷多解,(A b) rref,基解:非主列变 量=e1.enr,特解:非主列 变量=0,方阵,零矩阵,初等 矩阵,对称 矩阵,对角 矩阵,单位矩阵,反对称 矩阵,正交 矩阵,正定 矩阵,可逆 矩阵,几何与代数复习要点,方阵的特殊形式,特殊矩阵,行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量.,列矩阵An1: 只有一列, 又名列向量.,零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Omn或O.,初等矩阵: 由单位

3、矩阵经过一次初等变换所得.,方阵: 行数=列数.,对称矩阵: AT = A.,对角矩阵: diag1, 2, , n, 常用表示.,数量矩阵: kE, 或kI, 其中k为常数.,单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0, 常记为E或I.,反对称矩阵: AT = A.,正交矩阵: QTQ = QQT = E.,正定矩阵: AT = A且x 有xTAx 0.,可逆矩阵: AB = BA = E.,几何与代数复习要点,矩阵乘法消去率一般不成立.,矩阵乘法的交换律和消去率,矩阵乘法交换率一般不成立,(AB)k,Ak Bk,(A+B)2,A2 + B2+2AB,(A+B)(AB) A2B2,但是

4、，消去率在A可逆时成立.,矩阵乘积可交换的情况：,1. 方阵,4.,5.,AkAl=AlAk,3. (a Em) Amn = Amn(a En),2. 对角矩阵 =,几何与代数复习要点,非零子式的最高阶数,矩阵的秩,6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B),A中至少有一个 r级子式0, 任一k(r)级子式=0.,r(Amn) minm, n,9) 设A是n(2)阶方阵, 则,2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).,3) r(Amn) = r A P,Q可逆,A =P Q.,设 A, B 都是可逆方阵, 则,常用的分块矩阵求逆

5、和行列式公式,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|, |A| |B| |C| |D|,秩,阶梯阵,r(A)=非0行数,行变换,极大无关组(基),阶梯阵,主列对应原矩阵的列,行变换,行最简形,非主列的线性表示关系,解线性方程组Ax=b (AX=B),(A b) 行变换 (A B)行变换,阶梯阵,判别解:r1r2无解r1=r2=n 唯一解, r1=r2n无穷多解,行最简形,基解:非主列变量为e1.enr,特解:非主列变量为0,逆矩阵,行变换,行最简形,(A E) (E A1),行列式,行/列变换,三角形,某行(列)有 一非0元素,注意对角线方向的符号,按此行(列)展开,二. 用初等变

6、换求逆矩阵,(左行右列),(A E),(E A1),(A B),(E A1B),解AX=BX= A1B,解XA=BX= BA1,一. 初等阵与初等变换,一次初等 行变换,(左行右列),A B,E BA1,三. 用初等变换解矩阵方程,一次初等 列变换,方阵的行列式,定义,性质,计算,方程组Ax=b, |A|0,秩:r(A)=rr级子式0,任一k(r)级子式=0,特征多项式: |EA|,伴随矩阵: A*=(Aji), AA*=|A|E,逆矩阵: A1 = A*/|A|,面积/体积,叉积/混合积,|AT| = |A|.,|A| |A|.,|A| |A|.,1. 化为三角形行列式,3. 行列式按行(列

7、)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 提公因子法,5. 降阶递推法, aik Ajk = |A|ij ,6. 分解行列法,行列式与矩阵的区别,| |,初等变换时用 =, 或( ),初等变换时用,2. 如何计算一个可逆矩阵的逆矩阵？,1. 如何判断矩阵是否可逆？,A为方阵,|A| 0,由推论：A(?) =E,由性质：,(kA)1 = k1A1.,(AB)1 = B1A1.,分块求逆：,由公式：,(A E),(E A1),用初等行变换：,n阶方阵A可逆, A与E相抵, A的行最简形为E.,A为初等阵的乘积,多角度看可逆阵, A的行(列)向量组线性无关, 任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示,

8、 A的特征值均不为零, A的行(列)向量组的秩都是n.,(非退化阵),(满秩), A的行(列)向量组是Rn的基., A为Rn的两组基下的过渡矩阵., A的解空间的维数为0., A的列空间的维数为n., ATA为正定阵.,方阵A与E 相似 A = E ,A与E相合A正定,i 0,p=n,A=PTP,k0,特 征 值 和 特 征 向 量,|EA| = |E(P1AP)|,i = tr(A), i = |A|,A可逆A的特征值0, 1/是A1的特征值; |A|/是A*的特征值.,|EA| = |EAT|,A = f(A) =f(),对应于不同特征值的 特征向量线性无关,AT=AR,对应于不同 特征值

9、的特征向量正交,相似对角化,P 1AP=diag(1,n),A有n个l.i.的特征向量,A(复)r(iEA)=nni,A有n个不同特征值A,A的零化多项式的根可能是 但未必都是A的特征值.,Rnn,Rmn,相抵,相似,正交 相似,Rnn, 实对称,相抵标准形,为初等阵,i为特征值,秩,特征值, 迹,行列式,秩,相合,Rnn,r,p,q, 对称性,秩,实对称,若A可相似 对角化,实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.,正定性,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,x = Qy,作直角系的旋转变换,坐标轴的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1

10、z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,一般形式 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,实对称阵的正交相似对角化问题 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,n),p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,

11、r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,向量,向 量,线性 运算,度量,内积,线性 映射,向量,向量组,矩阵,线性方程组,几何与代数复习要点,向量空间,V Rn,对加法数乘封闭,Rn本身,e1, e2, , en,n,零空间,无,0,齐次线性方程组的解空间 xRn|Ax = , ARmn,Ax = 的基础解系,n r(A),生成子空间L(1, ,s) = k11+ kss|k1,ksR,1, , s的 极大无关组,1, , s的秩,A的秩,A的列向量组的 极大无关组,矩阵A的列空间, 即L(A1,A2, An),n r(A),Ax = 的基础解系,A的秩,A的列向量

12、组的 极大无关组,A的核空间或零空间K(A)=xRn|Ax= ,A的值域R(A)= Ax|xRn=L(A1,A2, An),x11+x22+xss= 只在x1=x2=xs=0时成立.,(1,s)x= 只有零解., (1,s)x=Ax= 有非零解,向量组1,s-1,s线性相关,向量组1,s-1,s 线性无关, r(A) s, r(A) = s =向量个数, 某个向量i可由其余的向量线性表示.,共线共面的推广,唯一表示定理: I l.i.,I,l.d.可由I 唯一线性表示.,Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.,Th4.5. 若I可由II线性表示, 则秩(I)秩(II); 且这两

13、个向量组等价 秩(I)=秩(II).,反之不成立,向量组的线性相关与线性无关,向量组的线性相关与线性无关,其中1, , s是维数相同的列向量(1, 2, , s也是维数 相同的列向量), 则1, , s也是线性相关的.,一些常用的结论,(1) 含有零向量的向量组一定线性相关.,(2) 单个向量 构成的向量组线性相关 = .,(3) 两个向量, 线性相关 与的分量成比例.,(4) 若1, , s线性相关, 则1, , s, s+1, , t也线性相关.,若1, , s, s+1, , t线性无关, 则1, , s也线性无关.,(5) 任意n+1个n维向量线性相关.,几何与代数复习要点,则I0与I

14、等价.,(7) 向量组1, , s (s2) 线性相关的充分必要条件是:,其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示.,(8) 若向量组1, , s线性无关, 而1, , s, 线性相关,则 一定能由1, , s线性表示, 且表示的方式是唯一的.,(9) 若向量组I: 1, , s可由向量组II: 1, , t 线性表示,并且s t, 则向量组I是线性相关的.,(10) 若1, , s线性无关, 且可由1, , t线性表示, 则s t.,(11) 若向量组1, , s和1, , t都线性无关, 并且这两个,向量组等价, 则s = t.,(12) 设I0: 1, , r是向量组I: 1, , s

15、的一个极大无关组,一些常用的结论,几何与代数复习要点,向量组的线性相关与线性无关,这两个向量组的秩都是2, 但它们不等价. 事实上, I中的,不能由II线性表示. ),例如:,一些常用的结论,(13) 若向量组I: 1, , s可由向量组II: 1, , t线性表示,则秩(I)秩(II);,若这两个向量组等价, 则秩(I) = 秩(II).,(注: 一般情况下, 两个向量组的秩相等时, 它们未必等价!,几何与代数复习要点,向量组的线性相关与线性无关,向量的数量积、向量积和混合积,| |=| | |sin =S,正定性,线性性, Schwartz不等式,反对称性 = , =0 , = /, =

16、a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面体),轮换对称性, (1),(2),(5),(, , ) =0 共面,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空间直线的方程,2. 标准(对称)方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第三章 几何空间,平面方程,向量的内积,过原点: Ax+By+Cz = 0,平

17、面方程,向量的混合积,/x轴: By + Cz + D = 0,/y轴: Ax + Cz + D = 0,/z轴: Ax +By + D = 0, x轴: Ax + D = 0, y轴: By + D = 0, z轴: Cz + D = 0,几何与代数复习要点,直线方程,向量的叉积,直线方程,两平面相交,几何与代数复习要点,位置关系,点,线,面的位置关系,两直线之间的夹角 (方向向量的夹角),点到直线:,点到平面:,异面直线:,两平面之间的夹角 (法向量的夹角),直线与平面的夹角 (方向向量与法向量 夹角的余角),几何与代数复习要点,解：,（01-02）六 (12%) 设A =,求参数k; 2

18、.求一个42矩阵 B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;,因为秩(A) = 2, 所以k = 0.,秩(A) = 2.,3. 问是否存在秩大于2的M使得AM = O? 为什么?,Ax = 的基础解系中含有两个线性无关的解向量,可取,解：,（01-02）六 (12%) 设A =,求参数k; 2.求一个42矩阵 B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;,因为秩(A) = 2, 所以k = 0.,秩(A) = 2.,3. 问是否存在秩大于2的M使得AM = O? 为什么?,Ax = 的基础解系为1, 2.,由于任何一个满足AM = O的矩阵M的列向量组 都可以由1, 2线性表示,因而不

19、存在秩大于2的矩阵M使得AM = O.,所以这样的矩阵M的秩一定 2.,(2) 探讨变换问题的条件,例6. 设,证明：,(1)证：,设 x 是Ax = 0的非零解.,令B=(x,0,0),则,(2)证1：,设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.,令B=(x1,x2,xn-r,0,0),则,(2)证2：,则存在n阶可逆阵P,Q, 使得,令,则,3. 培养发散思维,(2) 探讨变换问题的条件,(2) 探讨变换问题的条件,例6. 设,(3)证明：,(2)证1：,设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.,(2)证2：,则存在n阶可逆阵P,Q, 使得,令,则,(3)证：,则存在n阶

20、可逆阵P,Q, 使得,令,则,3. 培养发散思维,(2) 探讨变换问题的条件,令B=(x1,x2,xn-r,0,0),则,(08-09) 若A,B为n阶可逆阵, 则,(01-02)5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G =E(A+E)1, 则G1 = .,E+A1,(A+E)1A,G1 =A1 (A+E),.,若A满足 , 则,1. 关于逆矩阵,若A满足 , 则,1. 关于逆矩阵,(09-10)七(2)(4分) 设A,B都是n阶方阵，若存在不为0的数x,y使得AB=xA+yB, 证明：AB=BA.,证明:,由 AB = xA+yB 知,(A yE) (B xE) = xyE.,(B xE) (A

21、 yE) = xyE.,故 BA = xA+yB = AB.,设n阶矩阵A满足A2 = 2A, 以下结论未必成立的 . AE可逆, 且(AE)1 = AE; (B) A = O或A = 2E; (C) 若2不是A的特征值, 则A = O; (D) |A| = 0或A = 2E.,B,(AE) (AE) = A22A+ E=E,(AE)1 = AE;,则(A2E) 可逆,A2 = 2A A(A2E)=0,|A| |A2E|=0, |A| 0时A可逆, A = 2E.,消去率不成立,1. 关于逆矩阵,（02-03）一6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 ;,0,设A, B都是3阶方阵

22、, AB = O, r(A) r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;,D,3,为偶数,2. 关于矩阵的秩,判断正误：设A23, B23, 则|ATB| = O.,r(ATB) r(B) min2,3=2,(ATB)33,法II：Bx=有非零解,则ATBx=也有非零解,|ATB| = O.,若4阶矩阵A,B的秩都为1,则,r(A+B)2,0,设3阶矩阵A= (1,2,3), B= (2+3,123,1). 若A的行列式|A| = 3, 则B的行列式|B| = .,6,1/70,若A是正交矩阵, 则|A3AT| = ;,1,设3

23、阶方阵A满足AT = A, 则|A| =,0,设3阶方阵A的特征值为1,2,3, 则|A26A1+E|=,64,3. 关于方阵的行列式,设3阶方阵A的特征值为1,2,3, 则,4. 关于方阵的迹,设3阶实对称阵A有三重特征值，trA=1，则 A =,trA= 3 = 1, = 1/3,实对称阵A与 (1/3)E 相似。,(1/3)E,若矩阵A满足A2 = A, r(A) = r, 则 trA =,2 - = 0, = 0,1,r,4. 关于方阵的迹,(08-09)七(2) (4分)设A为n阶实对称阵，i (i= 1,n)是A的特征值, 证明：,A的特征值是1 ,n,证明：,所以A2的特征值是12 ,n2,设 = (1, 2), = (1, 1), 则 T = ;,(T)2010 =,1,5. 关于方阵的正整数幂,T =,(T)2009 (T) =,解：,设XA = AB + X, A =,求X 99.,方程可化为X(AE) = AB .,初等列 变换,可得X=AB(A